Probabilidad: tres puntos sobre una circunferencia y centro interior al triángulo
El problema
Se trata de calcular la probabilidad de que elegidos al azar tres puntos sobre una circunferencia el triángulo determinado por los tres puntos contenga el centro de la circunferencia.
El ejercicio admite aproximaciones diversas.
Enfoque 1:
La más intuitiva y asequible a alumnos de últimos cursos de bachillerato consiste en analizar el asunto de forma geométrica.
El primer punto elegido, A, sirve como origen de coordenadas circulares.
Estas usan como centro el centro de la circunferencia, O, y como origen el punto A. De esta forma cualquier punto P situado sobre la circunferencia queda caracterizado unívocamente por el ángulo Caso 1: B tiene coordenada circular comprendida entre 0 y pi Caso 2: B tiene coordenada circular comprendida entre pi y 2pi
Llamemos x a la coordenada circular del punto B.
No es difícil darse cuenta de que en el primer caso C tiene restringidas sus posiciones favorables al intervalo [pi, pi +x].
En el segundo caso las posiciones favorables para C quedan limitadas al intervalo [x- pi, pi].
La primera aplicación interactiva muestra la situación descrita. A es fijo y sirve de origen para toda la historia.
B se puede colocar en cualquier posición de la circunferencia.
Las posiciones favorables de C corresponden al arco de circunferencia verde.
Eso permite trasladar el problema a la situación geométrica bidimensional que muestra la segunda aplicación interactiva.
En ella en el eje de abscisas se coloca la coordenada circular de B y verticalmente las coordenadas correspondientes al punto C, (coordenada circular de B, coordenada circular de C).
Así vemos cuál es la región que corresponde a los casos favorables. Se trata de la región verde, limitada básicamente por las rectas x + pi, x - pi e y = pi.
El área de la zona favorable es 1/4 del área del rectángulo correspondiente a todos los casos posibles.
Por tanto la probabilidad buscada es:
Este ejercicio puede usarse para que los alumnos programen con Geogebra una simulación tipo Monte-Carlos para "comprobar" el resultado anterior. Se pude hacer colocando puntos al azar sobre la circunferencia y contando los que determinan triángulos que cumplen la condición requerida.
Se podría hacer también usando el dibujo bidimensional, pero, si se han entendido las explicaciones, no tiene mucho sentido porque las áreas se calculan sin problema.
A continuación se encuentran las dos aplicaciones interactivas mencionadas relacionadas con este enfoque del problema.
Más abajo, después de las aplicaciones indicadas, se exponen otras formas de abordar el problema.
Primer enfoque: aplicación 1
Primer enfoque: aplicación 2
Enfoque 2: Función de densidad de la distribución uniforme y probabilidades condicionadas
Enfoque 2: Función de densidad de la distribución uniforme y probabilidades condicionadas
La función de densidad de una distribución uniforme en [0, ] es f(x) =
Usaremos la probabilidad de C condicionada al valor de la coordenada circular x de B.
probabilidad buscada = p(C ( , x+ ) | B = x) p(B= x con 0<=x<=) + p(C ( x-, ) | B = x) p(B= x con <=x<=2)
p =
Enfoque 3
El primer punto, A, se coloca al azar y a partir de él analizamos la situación.
Los otros dos puntos, B y C, deben estar situados, cada uno de ellos, en una de las dos semicircunferencias determinadas por el centro O y por A y por A' (punto simétrico de A respecto de O).
La probabilidad de que esto suceda es , es decir, la de que cada punto esté situado en una de las dos distintas semicircunferencias es .
Asumido que se cumpla la condición anterior, para que se cumpla la condición del problema, que el centro O sea interior al triángulo ABC, es condición equivalente que se cumpla: <AOB + <AOC >= pi (suma de los dos ángulos >= pi).
Si designamos por x el ángulo <AOB y por y el ángulo <AOC, ambos positivos, y representamos ambos en el cuadrado [0, pi]*[0, pi], la zona favorable corresponde a la mitad superior determinada por la diagonal y=pi - x. La probabilidad correspondiente es
La aplicación que se muestra a continuación lleva a cabo una simulación que elige los puntos B y C al azar, mide los ángulos correpondientes y marca los puntos (<AOB, <AOC) y constata si cumplen la condición o no. Se repite el procedimiento hasta que se interrumpe pulsando el botón correspondiente y se calcula la probabilidad empírica que se aproxima rápidamente a
x
Más aproximaciones al problema
Otras aproximaciones al problema:
Hay publicadas en la red multitud de aproximaciones y métodos de solución de este problema.
En https://math.stackexchange.com/questions/268635/what-is-the-probability-that-the-center-of-the-circle-is-contained-within-a-tria hay enfoques muy interesantes, pero hay muchos más.