Caso RRR
INTRODUÇÃO
Neste caso são fornecidas três retas distintas r, s e t e devemos encontrar os círculos tangentes a todas elas.
SUBCASOS
1. As três retas concorrem duas a duas, mas não no mesmo ponto: Há quatro soluções;
2. Duas retas paralelas e uma transversal: Há duas soluções;
3. As três retas são paralelas entre si: Não há solução;
4. As três retas concorrem no mesmo ponto: Não há solução.
RRR1
PASSO A PASSO
(1-6) São dadas três retas r, s e t, que determinam um triângulo T;
(7) São construídas as bissetrizes i1 e e1 das retas r e s, bissetrizes interna e externa do triângulo T;
(8) São construídas as bissetrizes i2 e e2 das retas r e t, bissetrizes interna e externa do triângulo T;
(9) É determinado o ponto O1 de interseção entre as bissetrizes externas;
(10) É construída a reta p1 perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O1;
(11) É determinado o ponto T1 de interseção entre p1 e r;
(12) É traçado o círculo c1 de centro O1.
(13) É determinado o ponto O2 de interseção entre as bissetrizes internas;
(14) É construída a reta p2 perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O2;
(15) É determinado o ponto T2 de interseção entre p2 e r;
(16) É traçado o círculo c2 de centro O2.
(17) É determinado o ponto O3 de interseção entre i2 e e1;
(18) É construída a reta p3 perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O3;
(19) É determinado o ponto T3 de interseção entre p3 e r;
(20) É traçado o círculo c3 de centro O3.
(21) É determinado o ponto O4 de interseção entre i1 e e2;
(22) É construída a reta p4 perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O3;
(23) É determinado o ponto D de interseção entre p4 e r;
(24) É traçado o círculo c4 de centro O4.
JUSTIFICATIVA
Queremos determinar os centros O1, O2, O3 e O4 de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados equidistantes as retas r, s e t, ou seja, sobre duas das bissetrizes, assim, têm de ser os pontos de interseção entre estas. Como as circunferências que resolvem o caso devem ser tangentes as três retas inicialmente dadas, precisamos encontrar os pontos de tangência com estas retas, os quais serão os pés das perpendiculares a uma das retas dadas (digamos r) passando pelos centros O1, O2, O3 e O4. Com os centros e um ponto de cada um dos círculos, estes ficam determinados.
RRR2
PASSO A PASSO
(1-7) São dadas três retas r, s e t;
(8) São construídas as bissetrizes interna e externa i1 e e1 das retas r e t;
(9) são construídas as bissetrizes interna e externa i2 e e2 das retas s e t;
(10) É determinado o ponto O1 de interseção entre i1 e e2;
(11) É determinado o ponto O2 de interseção entre i2 e e1;
(12) É construída a reta p1 perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O1;
(13) É construída a reta p2 perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O2;
(14) É determinado o ponto A de interseção entre p1 e r;
(15) É determinado o ponto B de interseção entre p2 e r;
(16-17) São traçados os círculos c1 e c2 de centros O1 e O2 respectivamente.
JUSTIFICATIVA
Queremos determinar os centros de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados equidistantes as retas r, s e t, ou seja, sobre uma das bissetrizes. logo os centros devem estar na interseção das bissetrizes, para que assim os mesmo equidistam das três retas, uma vez que esteja em localizado em uma das bissetrizes internas ele equidista das retas r e t ou s e t, e quando nas bissetrizes externas equidista s e t ou de r e t, uma vez que os centros estejam na interseção de uma bissetriz interna com uma bissetriz externa ele equidista das três retas inciais. Com isso, concluímos que tais centros são, na verdade, os pontos O1 e O2.
RRR4
Não é possível obter a solução neste caso. Para se convencer disso, considere que tenhamos encontrado uma circunferência c que soluciona o problema. Onde deveria estar localizado seu centro? Como os raios de c devem ser sempre perpendiculares às retas tangentes no ponto de tangência, isso significa que o centro c é um ponto que equidista das três retas. Acontece que o único ponto que equidista das três retas é o ponto de interseção entre as três, pois qualquer outro ponto estaria localizado em uma das seis regiões determinadas pelas três retas, estando, portanto, mais próximo das duas retas que delimitam esta região que das demais, ou sobre apenas uma das retas, estando mais próximo desta que das outras duas. Não há como a circunferência c ter seu centro neste ponto de interseção e, ao mesmo tempo, ser tangente a qualquer uma das três retas, já que estas conteriam seu diâmetro. Isto prova que não há solução para este caso.