Ângulo entre dois vetores

Consideremos dois vetores não nulos e . O ângulo entre os vetores e é qualquer ângulo convexo, nulo ou raso, , em que e são pontos tais que e . A amplitude desse ângulo também se designa por ângulo formado pelos vetores e e representa-se por . Importante: para identificar o ângulo entre dois vetores devemos considerar representantes desses vetores com a mesma origem. O ângulo entre dois vetores não é um ângulo orientado, isto é, ( ) = ( ). A amplitude do ângulo entre dois vetores varia entre 0º (0 rad) - quando os vetores são colineares e têm o mesmo sentido - e 180º e ( rad) - quando os vetores são colineares e têm sentidos contrários. Observação: O caso em que (pelo menos) um dos vetores é nulo ficou por tratar. Na primeira das duas próximas apliquetas (Ângulo entre dois vetores não nulos V01), aparecem sempre dois ângulos relacionados com os vetores e mas, pelo que acabámos de ver, apenas um deles é o ângulo entre os dois vetores não nulos e , ( ), e será sempre, para cada caso, o menor ângulo dos dois, pois apenas esse é nulo, convexo ou raso. Nesta apliqueta podemos arrastar qualquer dos extremos dos dois vetores (devendo evitar tornar qualquer dos vetores no vetor nulo - apenas porque essa situação não é representativa da matéria aqui abordada) para ver casos diferentes de ângulos entre os dois (tal como referido anteriormente, o ângulo entre os dois vetores será o menor dos dois ângulos que aparecem da apliqueta - garantindo assim que a sua amplitude está ente 0º e 180º). Na segunda apliqueta (Ângulo entre dois vetores não nulos V02), temos controlo sobre um seletor para vermos diferentes casos de ângulos entre dois vetores não nulos (notar que, aqui, os vetores têm as mesmas normas). Observamos que, controlando os seletores relacionados com os dois ângulos e escolhendo exatamente o mesmo valor para ambos, acabamos por obter "casos iguais" no sentido em que não temos nenhum referencial estabelecido e os ângulos entre dois vetores não são orientados.

Sejam e dois vetores não nulos. Então ( ). Vamos demonstrar este resultado. Sejam e dois vetores não nulos e consideremos agora:

• um ponto (fixo) qualquer,
• e pontos tais que e e
• a projeção ortogonal de na reta .

1. ( )=0º
2. ( )=180º
3. ( )=90º
4. 0º<( )<90º
5. 90º<( )<180º

• (),
• e

Caso 2. Aqui os vetores e são colineares e têm sentidos contrários, logo, e também têm sentidos contrários, pois coincide com . Então, . Por outro lado temos que:

• (),
• e
• ,

Caso 3. Neste caso já vimos que (caso em que é o vetor nulo - ver capítulo Produto escalar de vetores) e, como (), temos o pretendido.

Caso 4. Neste caso temos que e têm o mesmo sentido logo . Temos (que os ângulos e são iguais e) que o triângulo é um triângulo retângulo em e, então, logo e, portanto, . Por outro lado temos que:

• (como já tínhamos mencionado) ( ) logo (),
• e
• ,



Caso 5. Neste caso temos que e têm sentidos contrários logo . Temos que os ângulos e são suplementares e que o triângulo é um triângulo retângulo em . Então , logo , daí e, portanto, . Por outro lado temos que:

• (como já mencionado) (()) e ()= logo ()=()
• e
• ,