In der Anwendung - Multiplikation von Matrizen
Fortführung Hotelmanagement
Sie sind Managerin eines Hotels der Hotelkette LLH (Living Like Home). Sie haben den Auftrag die Zimmer neu zu möblieren. Folgende Zimmertypen können bei Ihnen gebucht werden:
Die Matrix beschreibt also, wie viel Möbel Sie für jeweils ein Zimmer brauchen. Nun hat ein normales Hotel nicht von jeder Zimmersorte nur eines. Vielleicht einen Speisesaal, aber von den anderen Zimmern gibt es sicherlich mehr:
Ihr Hotel muss 20 Singel-, 15 Duo-, 5 Family-, 20 Groups- und zwei Speiseräume mit neuen Möbeln versorgen. Das lässt sich nun sehr schön mit der oben stehenden Matrix ausrechnen. Dazu brauchen wir noch ein Werkzeug: Das Skalarprodukt:
- Singel (SI): Zimmer für eine Person
- Duo (DU): Zimmer für zwei Personen
- Family (FA): Zimmer für Eltern und 2 Kinder
- Groups (GRU): Zimmer für Jugendgruppen mit 6 Betten
- Speisesaal (SPEI): Raum mit 60 Sitzplätzen und 15 Tischen
| SI | DU | FA | GRU | SPEI | |
| Betten | 1 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| Stühle | 1 | 2 | 4 | 6 | 60 |
| Tische | 1 | 1 | 2 | 2 | 15 |
| Schränke | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Das Skalarprodukt
Gegeben sind zwei Vektoren der gleichen Dimension:
und
Dann ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren definiert, als
Tatsächlich wird für dieses Produkt oft ein etwas dickerer Punkt oder ein ähnliches Zeichen verwendet, um es von der Multiplikation zweier Zahlen zu unterscheiden. Das Besondere ist, dass hier zwei Vektoren multipliziert werden, dass das Ergebnis aber kein Vektor ist, sondern eine Zahl. Da man eine einfache Zahl in der Mathematik auch einen Skalar nennt, heißt dieses Produkt Skalarprodukt.
Wie viel Möbel brauchen Sie?
Nun stellen wir die Anzahl Ihrer Zimmer, die neue Möbel brauchen, als einen Vektor dar:
Um herauszubekommen, wie viel Sie von jedem Möbelstück brauchen, multiplizieren wir den Vektor mit der Matrix :
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix, muss man Skalarprodukte bilden, aus den Zeilenvektoren der Matrix (links) und dem Spaltenvektor (rechts):
Aus dem Ergebnis erfahren wir, dass Sie 190 Betten, 310 Stühle, 95 Tische und 107 Schränke brauchen.
Nun erneuern sie eine HotelKETTE
Sie haben nun 3 Hotels, , und mit neuen Möbeln zu bestücken. Für jedes dieser Hotels gibt es einen Vektor, der anzeigt, wie viel Räume von jeder Zimmersorte vorhanden sind:
, und
Aus diesen drei Vektoren kann man eine -Matrix erstellen:
Nun kann man mit einer Matrizenmultiplikation die Rechnung für alle Hotels gleichzeitig durchführen:
Multiplikation von Matrizen
Bei der Multiplikation von Matrizen werden Skalarprodukte gebildet, aus den Zeilenvektoren der linken Matrix und den Spaltenvektoren der rechten Matrix.
Bei einer Multiplikation von Matrizen ist das Matrixelement das Skalarprodukt aus der 2-ten Zeile von und der 4-ten Spalte von .
Eine Multiplikation von Matrizen ist nur dann möglich, wenn die Anzahl der Spalten der linken Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der rechten Matrix ist.
Eine -Matrix kann also mit einer -Matrix multipliziert werden. Das Ergebnis ist dann eine -Matrix.
Anders als bei Zahlen, ist bei der Multiplikation von Matrizen die Reihenfolge der Faktoren nicht egal!!
Noch ein Zahlenbeispiel
Man kann zu Beginn ein Matrizenprodukt auch mit dem folgenden Schema berechnen.
Mit ein Bisschen Übung wird das Schema später überflüssig.
Berechnet werden soll:
Damit ist das Ergebnis:
Damit ist das Ergebnis: