L'aire d'un polygone sphérique
En découpant en triangles
À l'instar d'un polygone dans le plan, l'on peut calculer l'aire d'un polygone sphérique en le découpant en triangles sphériques, puis en additionnant les aires de ces triangles. Cette idée toute simple nous conduira vers une formule élégante permettant de calculer l'aire d'un polygone sphérique à partir de ses angles.
Une notation commode
Vous pouvez, dans l'appliquette ci-dessous, afficher le polygone et l'un de ses découpages en triangles sphériques. Les explications qui suivent se rapportent à cette appliquette. Nous distinguerons les angles du polygone et des triangles en changeant la couleur de la lettre du sommet de l'angle. Par exemple, est l'angle au sommet du polygone et est l'angle au sommet du triangle rouge dans le découpage.
En route vers une formule...
Ce qui suit n'est que l'écriture de ce que l'on voit sur l'appliquette (alors, regardez-la!) :
Une généralisation à la hâte
On étend rapidement cette formule à un polygone à côtés. On fera, dans la parenthèse, la somme de ses angles sphériques. Il faut ensuite retrancher à cette dernière le nombre de triangles du découpage multiplié par . Il y aura triangles dans un découpage. En effet, on peut découper le polygone en triangles en choisissant un sommet, puis en le reliant aux sommets auxquels il n'est pas relié (il y a autres sommets et il est déjà relié à sommets, d'où le ). Ce faisant, l'on générera triangles sphériques. Ainsi,
Remarquez que la formule tient aussi pour , soit une lune.