3x3 LGS: Gauß'sches Eliminationsverfahren
Wiederholung: Additionsverfahren
Um ein 3x3 lineares Gleichungssystem zu lösen (LGS) bedient man sich des Additionsverfahrens zusammen mit einer besonderen Strategie, die nach dem berühmten deutschen Mathematiker Gauß benannt ist.
Erinnern wir uns zunächst an das Additionsverfahren: Dabei versucht man, die Gleichungen geschickt mit Faktoren zu multiplizieren, sodass anschließend beim Addieren beider Gleichungen eine Variable verschwindet ("eliminiert wird").
(1) 2x + 5y = 12 |
(2) 3x - 2y = -1 |
-6x - 15x = -36
6x - 4y = -2 | +
-19y = -38 | :(-19)
y = 2
einsetzen in (1): 2x + 5·2 = 12
x = 1
Rechnung kürzer schreiben
Um Schreibarbeit zu sparen, schreiben wir dieselbe Rechnung nun etwas kürzer. Das machen wir, indem wir den Zwischenschritt im Kopf rechnen, d.h. die multiplizierten Gleichungen nicht mehr extra hinschreiben. Dann sieht dieselbe Rechnung so aus:
(1) 2x + 5y = 12 |
(2) 3x - 2y = -1 | +
-19y = -38 | :(-19)
y = 2
x = 1
Die Idee des Gauß'schen Eliminationsverfahrens
Mit Hilfe des Additionsverfahrens kann man also Variablen rausschmeißen, oder in Fachsprache ausgedrückt: "eliminieren". Das funktioniert natürlich auch, wenn man nun drei Gleichungen mit drei Unbekannten hat:
(1) x + 2y - 2z = -1
(2) 3x - 5y + z = -4
(3) -2x + 2y +2z = 8
Gauß' Idee war nun folgende: Mit Hilfe des Additionsverfahrens versucht man, in den drei Gleichungen Terme so zu eliminieren, dass das LGS anschließend folgende Form hat:
(1)'' x + 2y - 2z = -1
(2)'' - 11y + 7z = -1
(3)'' 20z = 60
Wie man das LGS in diese Form bekommt, besprechen wir gleich. Aber was hat man mit dieser Form gewonnen? Ganz einfach: Gleichung (3)'' liefert einfach z = 3. Dies setzen wir in (2)'' ein und erhalten y = 2. Schließlich setzen wir beides in (1)'' ein und erhalten x = 1.
Durch Einsetzen von unten nach oben erhalten wir also sehr leicht die Lösung des LGS.
Umformen in Dreiecksform
Weil die linke Seite des Gleichungssystems nach dem Umformen wie ein Dreieck aussieht, nennt man diese Form des LGS auch Dreiecksform.
Wie bekommt man das LGS nun in Dreiecksform? Das geht in zwei Schritten. Im ersten Schritt eliminieren wir im LGS die rot markierten Terme:
(1) x + 2y - 2z = -1
(2) 3x - 5y + z = -4
(3) -2x + 2y +2z = 8
Das machen wir mit Hilfe des Additionsverfahrens, wobei wir die Rechnung wie oben abkürzen. Zunächst eliminieren wir 3x, indem wir Gleichung (1) und (2) miteinander "verrechnen":
x + 2y - 2z = -1 |
(-3)
3x - 5y + z = -4| +
-11y +7z = -1
Dieses Ergebnis wird unsere neue Gleichung (2)'. Als nächstes eliminieren wir -2x, indem wir Gleichung (1) und (3) miteinander "verrechnen":
x + 2y - 2z = -1 |2
-2x + 2y + 2z = 8 | +
6y - 2z = 6
Dieses Ergebnis wird unsere neue Gleichung (3)'. Damit sieht unser neues LGS nun so aus:
(1)' x + 2y - 2z = -1
(2)' -11y + 7z = -1
(3)' 6y - 2z = 6
Jetzt müssen wir nur noch 6y eliminieren. Achtung: Dazu dürfen wir nicht Gleichung (1)' hernehmen, da beim Addieren von (1)' mit (3)' wieder ein x-Term auftreten würde, den wir eben erst mühsam eliminiert haben! Also müssen wir (2)' und (3)' miteinander verrechnen, die ja beide keinen x-Term mehr enthalten:
-11y + 7z = -1 |6
6y - 2z = 6 |11 +
20z = 60
Das Ergebnis wird unsere neue Gleichung (3)''. Damit sieht unser Gleichungssystem schließlich so aus:
(1)'' x + 2y - 2z = -1
(2)'' - 11y + 7z = -1
(3)'' 20z = 60
Das ist die gesuchte Dreiecksform, die man jetzt sehr einfach lösen kann (siehe oben).
(-3)
3x - 5y + z = -4| +
-11y +7z = -1
Dieses Ergebnis wird unsere neue Gleichung (2)'. Als nächstes eliminieren wir -2x, indem wir Gleichung (1) und (3) miteinander "verrechnen":
x + 2y - 2z = -1 |2
-2x + 2y + 2z = 8 | +
6y - 2z = 6
Dieses Ergebnis wird unsere neue Gleichung (3)'. Damit sieht unser neues LGS nun so aus:
(1)' x + 2y - 2z = -1
(2)' -11y + 7z = -1
(3)' 6y - 2z = 6
Jetzt müssen wir nur noch 6y eliminieren. Achtung: Dazu dürfen wir nicht Gleichung (1)' hernehmen, da beim Addieren von (1)' mit (3)' wieder ein x-Term auftreten würde, den wir eben erst mühsam eliminiert haben! Also müssen wir (2)' und (3)' miteinander verrechnen, die ja beide keinen x-Term mehr enthalten:
-11y + 7z = -1 |6
6y - 2z = 6 |11 +
20z = 60
Das Ergebnis wird unsere neue Gleichung (3)''. Damit sieht unser Gleichungssystem schließlich so aus:
(1)'' x + 2y - 2z = -1
(2)'' - 11y + 7z = -1
(3)'' 20z = 60
Das ist die gesuchte Dreiecksform, die man jetzt sehr einfach lösen kann (siehe oben).
Zusammenfassung: Gaußverfahren in Kompaktschreibweise
Die Rechnung kann man noch einmal kürzer schreiben, indem man die einzelnen Zwischenschritte im Kopf rechnet, ohne sie hinzuschreiben. Wie das dann aussieht, können Sie sich im folgenden Applet anschauen. Klicken Sie dazu auf den Play-Button:
Aufgaben
Hier finden Sie ein pdf-Dokument mit Aufgaben samt Lösungen zum Üben.
