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Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)
2 Punkte-Quadrupel mit identischer absoluten Invariante lassen sich durch eine Möbiustransformation aufeinander abbilden. 4 verschiedene Punkte lassen sich immer auf 4 komplexe Punkte abbilden. Ist die Invariante für die 4 Punkte nicht reell, so sind die Punktspiegelungen an den Punktepaaren die einzigen Symmetrien dieser Punkte. Lösungskurven für diesen Fall sind uns nicht bekannt. Lösungsfunktionen sind doppelt-periodische elliptische Funktionen, zB. die Weierstraßsche -Funktion, wenn einer der Brennpunkte als gewählt wird.elliptisches Vektorfeld allgemein
Ist die absolute Invariante der vier (verschiedenen) Brennpunkte reell und ist , so sind
die Brennpunkte konzyklisch und man kann sie darstellen als mit .
Die Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung sind
konfokale 2-teilige bizirkulare Quartiken, die man mit Hilfe der Leitkreise "konstruieren" kann.
Die Kurven sind die Winkelhalbierenden der "Brennkreise", womit zB. die Kreise der beiden
elliptischen Kreisbüschel durch , bzw. gemeint sind.
Die winkelhalbierenden Kreise (Symmetriekreise) dieser Brennkreise sind die doppelt-berührenden Kreise
der bizirkularen Quartiken.
Die 4 Brennpunkte können auf drei verschiedene Weisen als Brennpunkte zweier elliptischen Kreisbüschel
mit unterschiedlichen Grundpunkten gedeutet werden. Lösungskurven sind in jedem Fall Winkelhalbierende
der beiden Kreisbüschel.
2-teilige konfokale bizirkulare Quartiken
Ist die absolute Invariante der vier (verschiedenen) Brennpunkte reell und ist , so liegen zwei der
Brennpunkte-Paare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen und
man kann sie darstellen als mit .
Die Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung sind
konfokale 1-teilige bizirkulare Quartiken, die man ebenfalls mit Hilfe der Leitkreise "konstruieren" kann.
Die Kurven sind die Winkelhalbierenden der "Brennkreise", womit hier die Kreise der beiden
Kreisbüschel mit , bzw. als Grundpunkten gemeint sind, wobei eines der Kreisbüschel elliptisch, das andere hyperbolisch sein muss.
Die winkelhalbierenden Kreise (Symmetriekreise) dieser Brennkreise sind wieder die doppelt-berührenden Kreise
der bizirkularen Quartiken.
Sonderfälle:
- , zB. wenn : harmonische Lage, die Brennpunkte sind konzyklisch und liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen.
- , die Brennpunkte sind (auf der Riemannschen-Zahlen-Kugel) die Eckpunkte eines Tetraeders.
1-teilige konfokale bizirkulare Quartiken
Zwei der Brennpunkte fallen zusammen in einen Punkt, dieser sei als gewählt;
die beiden einfachen Brennpunkte können als gesetzt werden.
Lösungskurven sind die konfokalen Kegelschnitte mit diesen Brennpunkten.
Konfokale Ellipsen & Hyperbeln
Ein dreifacher Brennpunkt wird als , der verbleibende als gewählt:
Lösungskurven sind konfokale Parabeln mit diesem Brennpunkt.