limites Y continuidad
Limites y continuidades
Los límites describen el comportamiento de una función conforme nos acercamos a cierto valor de entrada, sin importar el valor de salida de la función. La continuidad requiere que el comportamiento de una función alrededor de un punto sea igual al valor de la función en ese punto. Esta simple pero poderosa idea juega un papel fundamental en todo el cálculo.
■ Entender la definición de un entorno en el plano.
■ Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables.
■ Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables.
■ Extender el concepto de continuidad a una función de tres variables.
Entornos en el plano
En esta sección se estudiarán límites y continuidad de funciones de dos o tres variables. La
sección comienza con funciones de dos variables. Al final de la sección, los conceptos se
extienden a funciones de tres variables.
El estudio del límite de una función de dos variables inicia definiendo el análogo bidimensional de un intervalo en la recta real. Utilizando la fórmula para la distancia entre dos
puntos y en el plano, se puede definir el entorno de como el disco
con radio centrado en
como se muestra en la figura 13.18. Cuando esta fórmula contiene el signo de desigualdad
menor que, al disco se le llama abierto, y cuando contiene el signo de desigualdad menor o igual que, al disco se le llama cerrado. Esto corresponde al uso del y
del al definir intervalos abiertos y cerrados.
Un punto en una región del plano es un punto interior de si existe un
entorno d de que esté contenido completamente en como se muestra en la figura
13.19. Si todo punto de es un punto interior, entonces es una región abierta. Un punto
es un punto frontera de si todo disco abierto centrado en contiene puntos
dentro de y puntos fuera de Por definición, una región debe contener sus puntos interiores, pero no necesita contener sus puntos frontera. Si una región contiene todos sus puntos frontera, la región es cerrada. Una región que contiene algunos pero no todos sus puntos
frontera no es ni abierta ni cerrada.
