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Äquivalenzumformungen LGS

Autor:anabeldietz
Beim Lösen eines Linearen Gleichungssystems sind verschiedene Äquivalenzumformungen erlaubt:
  1. Vertauschen der Reihenfolge von Gleichungen
  2. Das Vielfache einer Gleichung auf eine andere Gleichung addieren
Wir wollen uns nun davon überzeugen, dass diese Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge des LGS nicht verändern. Hierfür betrachten wir die einzelnen Gleichungen als Geraden (2D) bzw Ebenen (3D) im Raum. Die Lösungsmenge des LGS ist dann die Menge, in der sich die Geraden schneiden (Gerade, Punkt oder leere Menge) bzw die Ebenen sich schneiden (Ebene, Gerade, Punkt oder leere Menge). Dass die Lösungsmenge bei 1. erhalten bleibt, ist leicht ersichtlich. Durch Vertauschen von Gleichungen ändern sich die Geraden bzw Ebenen nicht und somit auch nicht ihre Schnittmenge. Wir prüfen nun anschaulich die Äquivalenzumformung 2.:

Äquivalenzumformungen in 2 Dimensionen

Verschiebe gegebenenfalls das Koordinatensystem, um den Schnittpunkt der Geraden zu sehen.

Äquivalenzumformungen in 3 Dimensionen

Drehe das Koordinatensystem, um besser alle Ebenen sehen zu können. Ist die Schnittgerade nicht im Ausschnitt zu sehen, klicke auf "neue Gleichungen".

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