Fractions continues et demi-plan de Poincaré, Partie 4
Partie 4 d'un exposé sur les liens entre l'algorithme des fractions continues, les cercles (ou plutôt horocycles) de Ford et le demi-plan de Poincaré
On propose avec cette quatrième figure quatre calculs cohérents des coordonnées du point S présenté à l'épisode précédent, l'un des trois points définissant le phylactère associé à une fraction . Les trois premiers calculs renvoient à la partie 3 ( http://tube.geogebra.org/m/t1weh15s ), et bien que présentés différemment, sont substantiellement identiques:
- Calcul à l'aide deux dernières réduites
- Calcul à l'aide de la matrice i2S qui envoie l'imaginaire i sur S, 0 sur la dernière (ou avant dernière) réduite, l'infini sur l'avant dernière (ou dernière) réduite et d'une matrice permutant les 3 coefficients triangulaires inférieurs de i2S et prenant l'opposé du quatrième coefficient.
- Calcul à l'aide de l'isométrie que code i2S
Mais c'est essentiellement le quatrième calcul qui devrait attirer l'attention, du fait d'un intrigant phénomène de "quasi-palindromisation" pour déduire le développement de x(S) à partir de celui de .
On va prolonger ce quatrième calcul en définissant consubstantiellement deux suites par récurrence, dans la partie 5 de cet exposé:
http://tube.geogebra.org/m/2185361