elliptic/hyperbolic pencils of circles
Ein elliptisches Kreisbüschel besteht aus allen Kreisen durch 2 Grundpunkte, die wir auch Brennpunkte nennnen.
Die dazu orthogonalen Kreise bilden das dazu polare hyperbolische Kreisbüschel.
Im Applet oben ist das Strahlenbüschel durch w0 ein elliptisches Kreisbüschel, der 2. Brennpunkt ist .
Die konzentrischen Kreise um w0 sind das polare hyperbolische Kreisbüschel.
Die Kreise entstehen aus den achsenparallelen Geraden als Bilder unter der komplexen Funktion
Im Applet unten sind w0 und w die Brennpunkte.
Die Kreise sind Bilder der achsenparallelen Geraden unter der komplexen Funktion
Allgemein sind Kreisbüschel und deren Loxodrome - also die Kurven,
welche die Kreise des Büschels unter konstantem Winkel schneiden -
charakterisiert durch eine Differential-Gleichung und damit durch ein Vektorfeld des Typs
Hierbei ist die komplexe Lösungsfunktion analytisch, bzw. meromorph.
Die Nullstellen , die wir Brennpunkte nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein parabolisches Kreisbüschel vor - ).
Man kann die Kreise eines hyperbolische Kreisbüschels dynamisch deuten als Kreiswellen, die sich von einer Quelle aus
in Richtung der Kreise des orthogonalen elliptischen Kreisbüschel zur Senke bewegen.
Quelle und Senke sind die Brennpunkte der Wellen-Bewegung.
Wir nennen diese Vektorfelder linear.
Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe SO(3,)
und deren LIE-Algebra . geogebra-book Möbiusebene, speziell das Kap. Kreisbüschel und lineare Vektorfelder
Überlagert man 2 solcher Vektorfelder, so entstehen "quadratische Vektorfelder", deren Lösungskurven
konfokale Kegelschnitte oder konfokale bizirkulare Quartiken sein können.
Brennpunkte sind die Nullstellen der linearen Vektorfelder.
Die Lösungskurven sind in diesen Fällen Winkelhalbierende der sich schneidenden Kreise aus den beiden Kreisbüschel.
links:
geogebra-book möbiusebene
geogebra-book Leitlinien und Brennpunkte
