3.1 Definition der komplexen Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung
Definition (iMPACt Skript 2018, S. 428)
Die komplexe Exponentialfunktion wird wie folgt definiert:
Für mit rellen und setzt man
.
Wieso so und nicht anders?
Bei der obigen Gleichung handelt es sich um eine Definition. Eine Definition ist für sich zunächst einmal weder richtig noch falsch. Insofern kann man diese Definition nicht als "falsch" oder "richtig" bezeichnen. Genauso könnte man sagen, eine Funktion zu definieren, sei "falsch" oder "richtig". Aber was soll daran falsch sein? Genauso weist man oben zunächst einmal einfach der Bezeichnung oder dem Objekt eine Bedeutung zu.
Definitionen müssen allerdings mit allen bisherigen Definitionen zum selben Objekt verträglich sein. Das heißt, wenn man zuerst festlegt, dass sein soll, kann man anschließend nicht mehr festlegen ohne die erste Definition zu verwerfen.
In diesem Fall bedeutet das, die erweiterte Definition der Exponentialfunktion muss für reelle Zahlen, d. h. mit den obigen Bezeichnungen mit der gewohnten Exponentialfunktion übereinstimmen. Das tut sie wegen offenbar. Es gäbe aber natürlich noch andere Möglichkeiten, die dies erfüllen.
Warum sollte man sie also nicht anders definieren? Bearbeiten Sie dazu die beiden folgenden Arbeitsaufträge.
Arbeitsauftrag 3.1
- Berechnen Sie Real und Imaginärteil von und .
- Die komplexe Exponentialfunktion soll die aus den rellen Zahlen gewohnte wichtige Eigenschaft auch für komplexe Zahlen und erfüllen. Rechnen Sie nach, dass die obige Definition dies erfüllt.
- Gleichzeitig bietet die komplexe Exponentialfunktion eine neue Möglichkeit komplexe Zahlen zu schreiben: Rechnen Sie auch dies nach.
- Begründen Sie, wieso aus Ihrer Sicht diese Definition für die komplexe Expomentialfunktion sinnvoll ist (oder nicht). (wenige, kurze Stichpunkte genügen)