Τυχαιότητα και Εκθετική Μεταβολή
-------------------------------------------------------------------------------------
ΕΡΓΟ 1
Εκτελούμε το παρακάτω πείραμα.
Ρίχνουμε 100 εξαεδρικά ζάρια. Επιλέγουμε όσα ζάρια έφεραν την ένδειξη "6" και τα αφαιρούμε. Στη συνέχεια ξαναρίχνουμε τα εναπομείναντα ζάρια. Επιλέγουμε και πάλι τα ζάρια που έφεραν "6" και τα αφαιρούμε. Συνεχίζουμε το πείραμα όσες φορές θέλουμε.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω προσομοίωση για να υλοποιήσουμε το παραπάνω πείραμα.
Στο αριστερό παράθυρο εισάγουμε τον επιθυμητό αριθμό ζαριών (100). Στη συνέχεια κάνουμε κλικ στο κουμπί "Roll" και το λογισμικό ρίχνει 100 τυχαία ζάρια. Εμείς βλέπουμε στην οθόνη το ιστόγραμμα συχνοτήτων των 6 πιθανών αποτελεσμάτων (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Στο δεξί παράθυρο μπορούμε να εισάγουμε τιμές στα κουτιά κειμένου t και f(t). Στη συνέχεια κάνοντας κλικ στο κουμπί "Place", το λογισμικό τοποθετεί το σημείο (t, f(t)) στο σύστημα συντεταγμένων. Σημειώνουμε ότι
t = ο αριθμός του πειράματος (0, 1, 2, 3...) και
N(t) = ο αριθμός των ζαριών που ρίχνουμε σε κάθε βήμα (αρχικά 100).
Προφανώς στην αρχή του πειράματος έχουμε N(0) = 100.
Χρησιμοποιώντας την παρακάτω προσομοίωση
α) τρέξτε το πείραμα 20 φορές (τουλάχιστον)
β) συμπληρώστε τον πίνακα τιμών (δίνεται παρακάτω ή στο τετράδιό σας) και
γ) βρείτε την γραφική παράσταση μεταξύ του t και του N(t).
Πίνακας Τιμών
Προσομοίωση Πειράματος
Ερώτηση 1
Ποια συνάρτηση σας θυμίζει η γραφική παράσταση της N(t)?
------------------------------------------------------------------------------
ΕΡΓΟ 2
Μπορείτε να κάνετε το πείραμα με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιώντας περισσότερα ζάρια.
Στο παρακάτω πείραμα προσομοίωσης το πείραμα γίνεται αυτοματοποιημένα. Κάθε φορά που κάνετε κλικ στο "Roll" το geogebra ρίχνει ζάρια και αυτόματα αφαιρεί τα ζάρια με ένδειξη 6 ώστε να μην τα ξαναρίξει την επόμενη φορά. επιπλέον, στο δεξί παράθυρο εμφανίζεται αυτόματα το αντίστοιχο σημείο.
Εκτελέστε το πείραμα άλλες 20 φορές. Συζητήστε τα συμπεράσματά σας.
---------------------------------------------------------------------------
ΕΡΓΟ 3
Στην παραπάνω προσομοίωση κάντε κλικ στο "Μοντέλο" και στη συνέχεια στο "Ημίσεια Ζωή".
Στη συνέχεια υπολογίστε από τη γραφική παράσταση
α) μετά από περίπου πόσες ρίψεις θα μείνουν τα μισά ζάρια
β) μετά από πόσες ρίψεις θα μείνει το 1/4 των ζαριών.
Ποιος είναι ο χρόνος υποδιπλασιασμού (ημιζωής) των ζαριών;
--------------------------------------------------------------------------------------
ΕΡΓΟ 4
Μπορείτε να βρείτε τον αναλυτικό τύπο της συνάρτησης N(t) θεωρώντας ότι ο αρχικός αριθμός των ζαριών είναι Ν_0;
Hint: Θεωρήστε ότι σε κάθε βήμα μένουν τα 5/6 των ζαριών.
-------------------------------------------------------------------------------------
ΕΡΓΟ 5
Στο παρακάτω πείραμα ξεκινάμε με 10.000 ζάρια και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία που περιγράφηκε πριν. Δηλαδή σε κάθε ρίψη αφαιρούμε όλα τα ζάρια με ένδειξη ίση με 6.
Όμως σε αυτό το πείραμα καταγράφουμε σε δύο άξονες τη μεταβολή του αριθμού των ζαριών ΔΝ σε σχέση με τον αριθμό των ζαριών Ν.
Ν_α = αριθμός ζαριών πριν την ρίψη
Ν_τ = αριθμός ζαριών μετά τη ρίψη
ΔΝ = Ν_τ - Ν_α = η μεταβολή των ζαριών μετά από κάθε ρίψη
Κάθε φορά που πατάτε το κουμπί "Roll" το σύστημα ρίχνει τα ζάρια και αφαιρεί τα ζάρια με ένδειξη "6" για να συνεχίσετε με την επόμενη ρίψη.
Στο σύστημα συντεταγμένων ο άξονας x είναι το πλήθος των ζαριών N
ενώ ο άξονας y είναι η μεταβολή του αριθμού των ζαριών ΔΝ.
Μετά από κάθε ρίψη καταγράφουμε το σημείο (Ν_α, ΔΝ) στους άξονες.