Función Seno: Amplitud, período, ángulo de fase y desplazamiento vertical
La Función Seno
En general, sea una función:
F(x) =Sen (x)
Su Dominio: R (siempre)
Su Imagen: [-1;1] (la función oscila entre -1 y 1, su mínimo y máximo).
Vamos a ver qué ocurre con su gráfico, cuando empiezo a modificar la fórmula original.
1) CUANDO MULTIPLICO POR UN NÚMERO "A":
F(x) = A . Sen(x)
Amplitud (A) : Amplitud es el valor "A" y es el valor máximo de la función.
Se lo define como el módulo de A o sea |A|, porque debe ser siempre POSITIVA.
Ejemplo 1:
F(x) = A.Sen (x)
F(x) = 4.Sen (x) (A=4)
Acá, la Amplitud de la función es |4|=4 (porque es el valor que multiplica a la función).
Entonces la Imagen de la función F(x) va a hacer el intervalo [-4,4] (se "estira" la función).
Ejemplo 2:
F(X) = -2.Sen (x)
Acá, la Amplitud de la función es |-2|=2 (porque es el valor que multiplica a la función).
Entonces la Imagen de la función F(x) va a hacer el intervalo [-2,2].
Ejemplo 3:
F(x) = 1/2 . Sen (x)
Acá, la Amplitud de la función es |1/2|=1/2 (porque es el valor que multiplica a la función).
Entonces la Imagen de la función F(x) va a hacer el intervalo [-1/2,1/2] (se "aplasta" la función).
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2) CUANDO MULTIPLICO A LA "x" POR UN NÚMERO "B":
F(X) = Sen (B.x)
El número "B" modifica el PERÍODO de la función seno. El período se indica con la letra "T".
Es lo que tarda la función en repetirse. Período es el "tiempo" que la señal tarda en repetirse. Solo tiene sentido si la señal es periódica.
La fórmula general para sacar el período es:
T= 2pi / B (2pi dividido el número B)
Ejemplo 1:
F(X) = Sen (B.x)
F(x) = Sen (2.x) (B=2)
Significa que:
T = 2*pi / B = 2pi / 2 = pi
Esto significa que el dibujito se va a repetir cada "pi" (sobre el eje x).
Ejemplo 2:
F(X) = Sen (B.x)
F(x) = Sen (4.x) (B=4)
Significa que:
T = 2*pi / B = 2pi / 4 = 1/2 pi
Esto significa que el dibujito se va a repetir cada "1/2 pi" (sobre el eje x).
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3) CUANDO SUMO A LA "x" POR UN NÚMERO "C": (expresado en radianes, pues es un ángulo)
F(x)=Sen ( x+C )
Ángulo de Fase (C): Te dice cuan corrido a la izquierda o derecha está el dibujo respecto de la función seno.
Si C >0 (positivo) el gráfico se corre hacia la izquierda
Si C<0 (negativo) el gráfico se corre hacia la derecha
IMPORTANTE:
LA FUNCIÓN SENO ORIGINAL (sin números que la multipliquen o sumen) TIENE UN INICIO EN CERO y un FINAL EN 2PI.
El ángulo de FASE "C" lo que hace es modificar ese INICIO y FINAL, ya que está haciendo un corrimiento horizontal del gráfico, entonces si o si, se alteran esos lugares.
Ejemplo 1:
F(x) = Sen (x + C)
F(x) = Sen (x+pi) (C=pi)
Eso te dice que la función estará corrida respecto de la original, un pi (con respecto al eje "x").
Es decir, acá hubo un cambio en el INICIO y en el FINAL. ¿De qué forma?
La función original tiene un INICIO en CERO.
Como C>0 entonces se corre hacia la izquierda. Y como se corrió un pi hacia la izquierda entonces tiene un INICIO en "-pi", pues
PARA INICIO:
x + pi = 0 <-------------- Se plantea lo que está adentro del paréntesis igualado a cero
x = 0 - pi
x = -pi <<<<<<<< NUEVO INICIO
La función original tiene un FINAL en 2PI.
Como C>0 entonces se corre hacia la izquierda. Y como se corrió un pi hacia la izquierda entonces tiene un FINAL en "pi", pues
PARA FINAL:
x + pi =2PI <-------------- Se plantea lo que está adentro del paréntesis igualado a 2PI
x = 2PI - pi
x= pi <<<<<<<<< NUEVO FINAL
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4) CUANDO SUMO A LA FUNCIÓN POR UN NÚMERO "D":
F(x)=Sen ( x ) + D
El valor "D" indica un desplazamiento vertical del gráfico (hacia arriba o hacia abajo).
Si D>0 (positivo) el gráfico se corre hacia la arriba
Si C<0 (negativo) el gráfico se corre hacia la abajo
Ejemplo 1:
F(x)=Sen ( x ) + D
F(x)=Sen ( x ) + 2 (D=2)
En este caso, el gráfico se corre 2 unidades hacia arriba
Ejemplo 2:
F(x)=Sen ( x ) + D
F(x)=Sen ( x ) - 3 (D=-3)
En este caso, el gráfico se corre 3 unidades hacia abajo.
Amplitud dada y=a.sen(x) se llama amplitud de la función al valor del coeficiente que multiplica a la misma. En la grafica la vemos como la distancia que existe entre el eje x y el valor más alto o más bajo que toma la función.
a) Grafica:
y=sen(x)
y=2sen(x)
y=3sen(x)
Por lo tanto si a>1 las ordenadas se………………………………….
b) Grafica:
y=sen(x) y=-2sen(x) y=-3sen(x)
Por lo tanto si a<0 las ordenadas se………………………………….
c) Grafica:
y=sen(x) y=0,5sen(x) y=0,2sen(x)
Por lo tanto si 0<a<1 las ordenadas se…………………………
2) Período dada y=sen(bx) se llama período de la función al valor del coeficiente que multiplica al argumento de la misma. Nos indica el valor con el cual se repite su forma.
a) Grafica:
y=sen(x) y=sen(2x)
Si b=2 el período es………………………………………
b) Grafica:
y=sen(x) y=sen(0,5x)
Si b=0,5 el período es………………………………….
Por lo tanto:
v Reducir el período a la mitad es multiplicar por……………...............la variable.
v Reducir el período a la tercera parte es multiplicar por……….….la variable.
v Reducir el período n veces es multiplicar por……….................……..la variable.
v Agrandar el período al doble es dividir por………...................….…..la variable.
v Agrandar el período al triple es dividir por……………...................….la variable.
v Agrandar el período n veces es dividir por………………......................la variable.
Fase dada y=sen(x+c) se llama fase de la función a la constante que se le suma o resta al argumento de la misma. Nos indica desde donde comienza la gráfica de la función.
a) Grafica:
y=sen(x) y=sen(x+1) y=sen(x+π)
Por lo tanto si c>0 la gráfica se desfasa c unidades hacia la………………...
b) Grafica:
y=sen(x) y=sen(x-1) y=sen(x-π)
Por lo tanto si c<0 la gráfica se desfasa c unidades hacia la………………….