Négyzet szerkesztése 2 pont alapján körzővel
Bizonyítás
BB'Y a Thales-tétel miatt derékszögű háromszög. A szerkesztés miatt B'Y=1 és BB'=2, ezért BY=gyök3.
Így BZ=gyök3 a szerkesztés miatt.
A BAZ háromszög derékszögű (mivel a szimmetria miatt AZ BB' felezőmerőlegese), és az átfogója BZ=gyök3, valamint AB=1 az egyik befogó. Így a Pitagorasz-tétel miatt AZ=gyök2.
Végül a BAC derékszögű háromszögben BC=gyök2 (a szerkesztés és AZ=gyök2 miatt), AB=1, ezért AC=1. Tehát C tényleg a négyzet harmadik csúcsa.
Szerkesztés menete
1. Rajzoljunk egy A középpontú B-t tartalmazó kört.
2. Erre a körre mérjük fel B középponttal a BA távolságot (tehát a B középpontú A-t tartalmazó kört metsszük el vele), így kapjuk az X pontot. Ezt megcsináljuk még kétszer: így jutunk az Y majd a B' pontokhoz.
3. Rajzoljuk meg a B középpontú BY sugarú kört, valamint a B' középpontú B'X sugarú kört, és ezek metszéspontja legyen Z.
4. A B középpontú AZ sugarú kör és az A középpontú AB sugarú kör metszéspontja legyen C. Ekkor C a négyzet harmadik csúcsa.
5. A négyzet negyedik D csúcsának szerkesztése értelemszerű. (A C középpontú CA sugarú és B középpontú BA sugarú körök metszéspontja.)