Esferas tangentes entre sí e inversión
Vamos a resolver el siguiente problema
Una empresa de dispositivos mecánicos fabrica un determinado componente, consistente en 4 esferas tangentes entre sí y a un cilindro exterior. El diámetro de dos de las esferas mayoers tangentes entre sí son 2cm y 1cm, respectivamente (de las otras dos no se conoce el diámetro).
¿Cuánto acero será necesario para construir 10000 piezas con las 4 esferas?
(*) La densidad del acero es 7,85g/cm3.
Resolución mediante inversión
Podemos resolver el problema en el plano, y luego obtener las esferas correspondientes. Principalmente, se trata de calcular el radio de las otras dos esferas.
Una forma cómoda de obtener circunferencias tangentes entre sí es mediante inversión respecto una circunferencia.
Otra forma podría ser mediante cálculo directo, por ejemplo utilizando cónicas (ver https://www.geogebra.org/m/eac5xtb6).
Por ejemplo el inverso de un punto (x,y) respecto una circunferencia de radio R centrada en el origen será . Además, el radio de la inversión de una circunferencia de radio r, que dista d>R+r del centro de inversión es .
Como sabemos, la inversión conserva tangencias, y la inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro.
- Tomando una circunferencia centrada en el origen y radio 3, la inversa de la recta será una circunferencia de diámetro 3, que corresponderá al cilindro que contiene las esferas.
- Considerando un punto de la forma (x,0), su inverso será . Tomando tal que , es decir, , la imagen de la recta es una circunferencia tal que uno de sus diámetros es el segmento que une origen y el punto (2,0), que corresponde a la esfera de diámetro 2.
- Las otras tres circunferencias son tangentes entre sí situadas entre estas dos rectas. La mayor deberá tener el centro en el eje x y las otras dos, situadas por encima y debajo. La inversión de estas circunferencias nos proporciona las otras esferas.
- Aplicando la fórmula, el radio de las otras esferas es obteniendo r'=, pues el centro era , de manera que .
- Por tanto, las 10000 esferas serán 53718cm3 que, para una densidad de 7,85g/cm3 resulta, aproximadamente, 421,686g.
Visualización de la inversión
(*) Otra forma de calcular el radio de las esferas sería a partir de la imagen de tres puntos, calculando el radio de la circunferencia circunscrita a ellos. Recordar que la inversión no conserva distancia, con lo que dos puntos diametralmente opuestos no tienen por qué seguir siéndolo tras la inversión.
¿Y si hubiese infinitas esferas?
En ese caso, antes de la inversión, los centros estarían situados en los puntos de coordenadas , y el radio siempre sería .
En particular, la distancia al cuadrado al centro (de inversión) será
Por tanto, los radios tras la inversión serán .