Κατασκευή Έλλειψης
Ορισμός
Δίνονται δύο σημεία Ε1 και Ε2. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε1 και Ε2 είναι σταθερό και ίσο με 2α (και μεγαλύτερο του Ε1Ε2), ονομάζεται έλλειψη. Τα σημεία Ε1 και Ε2 τα ονομάζουμε εστίες της έλλειψης.
Η απόσταση μεταξύ των δύο εστιών ορίζεται ως Ε1Ε2=2γ.
Προφανώς πρέπει γ>α.
Μπορούμε να σχεδιάσουμε μια έλλειψη αν πάρουμε ένα σκοινί (χρώμα κόκκινο) μήκους 2α και καρφιτσώσουμε τις άκρες του με πινέζες στις δύο εστίες που θέλουμε. Αν τεντώσουμε το σκοινί με ένα μολύβι και γυρίσουμε το μολύβι γύρω από τις εστίες έτσι ώστε να είναι τεντωμένο, τότε σχεδιάζουμε μια έλλειψη.
Εργαστείτε στο παρακάτω διαδραστικό αρχείο για να καταλάβετε την κατασκευή. Παρατηρείστε ότι το κόκκινο σκοινί έχει μήκος 4.
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο κύκλους των οποίων μεταβάλλονται οι ακτίνες.
O Κύκλος με κέντρο το Ε1 έχει ακτίνα ίση με t*2a,
ενώ ο Κύκλος με κέντρο το Ε2 έχει ακτίνα ίση με (1-t)*2a.
Επομένως τα σημεία τομής των δύο κύκλων έχουν άθροισμα αποστάσεων από τις δύο Εστίες ίσο με
t*2a + (1-t)*2a = 2*α
Άρα είναι σημεία της έλλειψης!
Στο παρακάτω διαδραστικό αρχείο πατήστε το play για να δείτε μια άλλη κατασκευή έλλειψης.
Ο Αρχιμήδης είχε κατασκευάσει ένα γεωμετρικό όργανο για τον σχεδιασμό μια έλλειψης.
Παρακάτω βλέπετε την ψηφιακή αναπαράσταση του οργάνου αυτού που ονομάζεται ελλειψογράφος του Αρχιμήδη (Archimedes Trammel ή Nothing Machine)
.
Στο σημείο Ε τοποθετείται ένα μολύβι και ο χειριστής περιστρέφει το μολύβι γύρω από τον μηχανισμό.
Περιστρέψτε το σημείο Ε και δείτε το σχήμα που προκύπτει.
