GeoGebra

1. Clases

Autor:Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Música y Matemáticas. MELODÍAS MODULADAS Publicado en la sección Música y matemáticas de Divulgamat Marzo 2008 Un día especial El 12 de mayo, Día Escolar de las Matemáticas y víspera de martes 13, se dedica este año a la relación entre Música y Matemáticas, eje central de esta sección de Divulgamat. Uno de los pilares de esa relación lo representa el sistema de escalas musicales y su conexión con la afinación, tema que se puede ver desarrollado en el artículo de Vicente Liem con el que se inauguró esta sección. Como dedicatoria al Día Escolar de las Matemáticas, comenzaremos hablando de días especiales y, siguiendo el hilo, retomaremos las escalas musicales desde un punto de vista ligeramente distinto. Querida Alicia
  • Me la dieron -continuó diciendo Humpty Dumpty con mucha prosopopeya, cruzando una pierna sobre la otra y luego ambas manos por encima de la rodilla- me la dieron... como regalo de no-cumpleaños. (Lewis Carroll, A través del espejo y lo que Alicia encontró al otro lado.)
El más básico sistema de clasificación es el que atiende a opuestos o complementarios: positivo o negativo, cara o cruz, par o impar, sonido o silencio, ser o no ser. Estas dicotomías toman frecuentemente la forma de criterios con los que dilucidar rápidamente algunas cuestiones. Criterios basados en la paridad son utilizados tanto en matemáticas como en la transmisión codificada de información digital para comprobar la existencia de soluciones o la coherencia de datos. La propia aritmética interna del ordenador es del tipo encendido-apagado. Estamos ante un caso sencillo de lo que se conoce como clases de equivalencia. Alicia cumple años el mismo día del año, independientemente del año de su vida. Todos estos días tienen, pues, una relación común, llamada relación de equivalencia, que los diferencia de los días de no-cumpleaños. Para Alicia, los días de cualquier año se separan, bajo esta relación, en dos clases de equivalencia: [cumpleaños] y [no-cumpleaños] (los corchetes denotan que nos referimos a clases). Sin embargo, estas dos clases no constan de igual número de elementos. Hay muchos más días de no-cumpleaños que días de cumpleaños, así que, como advierte Humpty Dumpty a Alicia, más vale celebrar los primeros que los segundos. Seven Up Más interesantes, en un sentido práctico, resultan las clases que reparten por igual los elementos. Un caso cotidiano -nunca mejor dicho- lo encontramos en las clases llamadas “días de semana”. Arbitrariamente, se elige un día y se le hace corresponder el número 1. Lo denominamos “lunes“, según la norma actual, si bien en sus orígenes hebreos el primer día no fue lunes sino domingo y correspondería al primer día de la creación, fijado en fecha tan reciente, históricamente hablando, como es el 7 de octubre del año 3761 a.C. Los días siguientes reciben nuevos nombres, hasta el séptimo, “domingo“. A partir de ahí, la secuencia se repite, de forma que el octavo día vuelve a ser “lunes“, el noveno “martes”, etc. Llamamos semana al tiempo que separa (distancia temporal) un día del siguiente del mismo nombre, es decir, de la misma clase. También usamos aquel mismo nombre, semana, para el intervalo de días correspondiente a esa distancia temporal. Por ejemplo, si hoy es miércoles decimos que para el próximo miércoles falta una semana. Pero también llamamos semana al intervalo que abarca el miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo, lunes y martes, es decir, a la serie de días comprendidos entre dos miércoles consecutivos. ¿Por qué se convino en repetir la secuencia precisamente cada siete días? Seguramente porque cada siete días la luna cambia de fase (llena, menguante, nueva y creciente), por lo que desde tiempos prehistóricos basta su observación para determinar el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos alejados algunos días, lo que resulta mucho más práctico que llevar cuenta de los amaneceres. Si deseamos distinguir un lunes de otro hace falta señalar la semana correspondiente. La forma más sencilla de conseguirlo es numerándolas. A la primera semana, ya sea la supuesta de la creación o cualquier otra semana que convengamos como inicial, le asignaremos el número 0, y a las sucesivas semanas 1, 2, 3, etc. Estos números se mostrarán como subíndices del día de la semana. Por ejemplo, M5 indica el martes de la quinta semana a partir de la inicial (que hemos denotado como semana 0). En suma, tenemos que las semanas, consideradas como intervalos, abarcan los días de lunes a domingo: semana 0 (inicial) = {L0, M0, X0, J0, V0, S0, D0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} semana 1 = {L1, M1, X1, J1, V1, S1, D1} = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} … que los días de la semana son las clases: [lunes] = {L0, L1, L2, L3, L4, L5...} = {1, 8, 15, 22, 29, 36...} [martes] = {M0, M1, M2, M3, M4, M5...} = {2, 9, 16, 23, 30, 37...} ... y también que usamos la palabra semana para la diferencia de siete unidades-día entre dos días consecutivos del mismo nombre: semana = Ln – Ln-1 = Mn – Mn-1 =... = 7 De oca a oca Una progresión aritmética es una sucesión -de números- en donde, a partir de un número inicial, la diferencia entre cada término y el anterior siempre es constante (esta constante se denomina, precisamente, diferencia). Por ejemplo, los números impares {1, 3, 5, 7...} forman una progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 2. Observamos entonces que cada elemento de la clase [martes] forma parte de una progresión aritmética cuyo primer término, el martes de la semana inicial (M0), corresponde al día 2 y cuya diferencia es 7. El término general, es decir, el número correspondiente al martes de la enésima semana (sin contar la inicial), será:

Mn = M0 + 7n

donde n es cualquier número natural. La expresión anterior sintetiza cada uno de los elementos de la clase [martes]. Por supuesto, esta expresión se puede aplicar a cualquier otro día. Al viernes, por ejemplo:

Vn = V0 + 7n

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