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Ein neues 6-Eck-Netz: Beispiel 3

Author:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (08. April. 2023) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze

Die im Inneren einer 2-teiligen bizirkularen Quartik liegenden doppelt berührenden Kreise und die Kreise durch das in einem der Flächenstücke liegenden Brennpunkte-Paar erzeugen ein 6-Eck-Netz aus Kreisen genau dann, wenn der haupt-achsen-symmetrische Fokalkreis durch die beiden Brennpunkte zugleich ein Scheitelkreis ist. Als "Inneres" bezeichnen wir die beiden von der Quartik berandeten Flächenstücke, welche die Brennpunkte enthalten. Die doppelt-berührenden Kreise berühren die Quartik häufig nicht reell. Durch jeden Punkt im Inneren gehen genau 2 der doppelt berührenden Kreise . Wie bei den Beispielen zuvor liefert auch das andere Brennpunkte-Paar ein 6-Eck-Netz. Der im Inneren liegende Scheitelkreis berührt die Quartik auf dem Einheitskreis . Die Gleichung der bizirkularen Quartik:
  • mit und
Für die Übersichtlichkeit der Formeln verwenden wir die komplexe Funktion , in welcher sich die Symmetrieen an den Achsen und am Einheitskreis spiegeln. sind die Brennpunkte und die Scheitel auf der -Achse mit . Die Scheitel auf dem Einheitskreis sind und die zugehörigen Spiegelpunkte. Die Gleichungen der beiden Scheitelkreise im Inneren: . Die doppelt-berührenden Kreise lassen sich auf verschiedene Weisen konstruieren: mit Hilfe eines der Leitkreise oder mit der auf der Seite 6-Eck-Netz in 2-teiliger Quartik beschriebenen Methode, welche die Siegelungen an den -achsen-symmetrischen Scheitelkreisen verwendet. Wir wollen hier eine andere Konstruktion vorschlagen, die darauf beruht, dass die Quartik Hüllkurve (Enveloppe) der doppelt berührenden Kreise ist. Die bizirkulare Quartik mit der Gleichung besitzt dieselben Scheitel auf dem Einheitskreis . Für erhält man die Übereinstimmung
Die im Inneren doppelt-berührenden Kreise lassen sich darstellen als quadratische Kombination der 3 Kreise:
  • mit 
Für unsere Belange reicht die Gleichung in dieser Form: Setzt man die Koordinaten eines Punktes im Inneren in diese Gleichung ein, so erhält man 2 Lösungen der quadratischen Gleichung, welche die zugehörigen doppelt berührenden Kreise durch ergeben! Für das 6-Eck-Netz aus doppelt berührenden Kreisen im Applet sind also etliche quadratische Gleichungen zu lösen! Umso erstaunlicher ist, wie genau die 6-Eck-Bedingung sich rechnerisch kontrollieren läßt! Bemerkungen: Um sämtliche doppelt berührenden Kreise zu erfassen, müßte die Schar etwa durch eine Gleichung der Form
  • mit beschrieben werden.
In dieser Gleichung sind die beiden vorgegebenen Scheitelkreise mit erfasst. Die im Vorangegangenen beschriebene Charakterisierung bizirkularer Quartiken als Hüllkurve einer Schar doppelt berührender Kreise läßt sich auch für die anderen Scharen doppelt berührender Kreise nutzen. Beschrieben und begründet wird diese Charakterisierung in der Diss. von Thomas Rainer Werner (Erlangen 2011) "Rationale Kreisscharen und bizirkulare Quartiken" (zB. S 92 ff) In der 139 Seiten umfassenden Arbeit über Kreise und bizirkulare Quartiken wird allerdings der Begriff "Brennpunkt" und die mit den Brennpunkten zusammenhängenden Eigenschaften nur einmal im Zusammenhang mit CASSINI-Kurven erwähnt. Man stelle sich eine grundlegende Arbeit über Kegelschnitte vor, in welcher Brennpunkte (Foci) weder erwähnt noch zur Charakterisierung dieser Kurven verwendet werden!

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