4-4 Interpretación de la derivada

Ilustramos que la derivada de una curva c se puede interpretar, si se particulariza a un punto, como el valor de la pendiente en ese punto, pero también puede verse como la obtención de una nueva función c’ , transformada de la anterior, que para cada x  toma el valor de la derivada  de la función en ese punto. La primera interpretación esta ligada a la representación de la función como una curva. La segunda opción no necesita de la interpretación geométrica de la derivada.

Podemos observar como construimos la representación de la función derivada a partir de la secante que pasa por dos puntos A y B distantes entre si Δx, y trasladamos el valor de la pendiente de la secante, obteniendo un “escalón” horizontal de ancho Δx. Al disminuir Δx, la función derivada se dibuja con mas precisión. Es la visión de Leibniz que interpreta una función como una sucesión de escalones de ancho dx y de altura dy, que al hacerse dx cada vez mas pequeño se suaviza y se convierte en una línea continua.

También podemos observar que la relación entre una función y su derivada sigue unas determinada reglas

Por ejemplo. Cuando la función pasa por un máximo, la derivada se hace 0. Geométricamente podemos decir que la tangente en ese punto es horizontal. Antes de un máximo, la función es creciente y la pendiente de su tangente es positiva. Rebasado el máximo la pendiente se vuelve negativa y la función decrece. El mismo razonamiento, en sentido contrario, se puede hacer para los puntos en que la función sea mínima.