Identidades
Uma identidade é uma equação que é satisfeita para todos os valores de suas variáveis. Um exemplo simples é a identidade
conhecida como o quadrado da soma, que vale para todos os valores de e . Por exemplo, se e , temos do lado esquerdo da equação (também conhecido como primeiro membro da equação) o valor
enquanto do lado direito (o segundo membro da equação) temos o valor
Que essa equação vale para qualquer valor das variáveis é algo que deve ser demonstrado, como podemos ver abaixo:
Quadrado da Soma
Quando provamos uma identidade, podemos usá-la sempre que necessário para substituir uma expressão que tenha a mesma forma do primeiro membro por outra que tenha a mesma forma do segundo, ou vice-versa, o que pode nos ajudar a resolver determinado problema. Por exemplo, se e , quanto vale ? Ora, pela identidade do quadrado da soma,
donde
ou seja, . Note que para resolver o problema, não precisamos nem descobrir os valores de e . Só precisamos nos lembrar que há uma identidade que envolve , e . Portanto, quanto maior for nosso conhecimento das identidades, maior a nossa chance de aplicá-las em problemas. Antes de vermos mais algumas identidades, vejamos alguns exemplos de não-identidades que, infelizmente, alguns insistem ainda em utilizar. Antiexemplos:
Cubo da Soma
Essa identidade possui uma interessante interpretação geométrica. Manipule a figura abaixo para entender o que acontece.
Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal
Qual é a expansão de quando ? Existe um padrão simples para os coeficientes que aparecem na expansão de , conhecido como Triângulo de Pascal. Manipule a figura abaixo para descobrir o padrão.
Em geral, pode-se provar que
,
onde é chamado número binomial. Esse resultado é conhecido como binômio de Newton. Lembrando que conta o número de subconjuntos com elementos no conjunto , podemos entender este resultado. Considere o coeficiente de em Ele é igual a porque existem três parcelas envolvendo e com exatamente 1 e 2 's, quais sejam, correspondendo aos três subconjuntos de com dois elementos, onde cada subconjunto especifica as posições dos 's nos termos correspondentes.Problema: Se e , quanto vale ?
Problema: Se e , quanto vale ?
Diferença de Quadrados
Outra identidade importante é a diferença de quadrados:
ou a diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença. Acompanhe a demonstração abaixo.
Diferença de Cubos e Diferença de Potências
De maneira semelhante, podemos obter a diferença de cubos e a diferença de potências:
Observando o que acontece no exemplo acima, podemos entender o que acontece em geral para . Quando multiplicamos por uma expressão da forma
(note que as potências do decrescem e as potências do crescem),
as parcelas que contém e se cancelam, sobrando apenas
Assim, para temos que
Identidades Obtidas por Substituição
A partir das identidades básicas acima, podemos obter muitas outras através de substituição de variáveis. Por exemplo, fazendo e e substituindo essas variáveis na identidade da diferença de quadrados temos que
donde concluímos que
que é outra identidade envolvendo a diferença de quartas potências.
Por outro lado, se fizermos e e substituirmos na mesma identidade da diferença de quadrados, obtemos que
donde concluímos que
.
Entretanto, perceba que a equação não é mais válida para quaisquer valores de e , mas apenas quando e , pois só podemos extrair a raiz quadrada de números não-negativos. Portanto, a equação acima é uma identidade apenas se considerarmos que as variáveis e são maiores ou iguais a zero. Muitas vezes essas condições adicionais sobre as variáveis são assumidas implicitamente.Exercícios
Mostre as seguintes identidades: