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Normalen- und Koordinatengleichung

Autor:Dieter Walz

Beschreibungsformen von Ebenen

Im letzten Kapitel haben wir die Darstellung einer Ebene in Parameterform kennengelernt: die Ebene wird in ihrer Lage im Raum durch den Stürzvektor "fixiert" und dann durch die beiden Richtungsvektoren aufgespannt wie ein Fächer: Quelle Bild: https://www.flickr.com/photos/photoloni/7525862074/in/photostream/ von Alon

Vergleichen Sie nun die beiden folgnden Bilder. Es handelt sich um das Vordach des Konzerthauses in Freiburg: (Quelle Bild: CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=647889) Ein möglicher Stützvektor sowie Spannvektoren sind eingezeichnet. Gib es vielleicht ein alternatives Konzept um die Dachebene zu definieren? Betrachten Sie das Blatt unten: Durch welche Art Vektor könnten man die Ebene alternativ zu den Spannvektoren beschreiben?

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Welche Vektoren sind notwendig um die Lage einer Ebene im Raum zu beschreiben, ohne mit dem Konzept Richtungsvektor zu arbeiten?

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Von der Paramterform zur Normalengleichung

Bauen Sie nun mit Hilfe des Applets unten eine Ebene in Parameterform auf, indem Sie Stütz und Spannvektoren einblendenden. Wenn Sie nun die Ebenen und einen beliebigen Punkt in der Ebene einblenden, können Sie mit Hilfe der Schieberegler jeden beliebigen Pubkt in der Ebene anfahren. Drehen Sie das Koordinatensystem und machen Sie sich die Zusammenhänge nochmals bewußt.

Blenden Sie nun den Normalenvektor ein sowie den Ortsvektor des Punktes in der Ebene. a) Wie bestimmt man den Verbindungsvektor zwischen dem Stützvektor und dem Ortsvektor des Punktes? b) Was gilt für den Verbindungsvektor zwischen dem Stützvektor und dem Ortsvektor des Punktes in Bezug auf den Normalenvektor ? c) Wie kann man den Sachverhalt aus b) in eine Gleichung fassen? Anders gefragt - was folgt daraus für die Verknüpfung zwischen Verbindungsvektor und Normalenvektor?

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Normalengleichung und Koordinatengleichung

Die Normalengleichung einer Ebene ist also gegeben durch das Skalarprodukt:

Mit dem Ortsvektor eines beliebiegen Punktes in der Ebene, dem Stützvektor der Ebene und dem Normalenvektor der Ebene. Multipliziert man dieses Skalarprodukt aus dann erhält man für die Menge aller Punkte in der Ebene mit den Koordinaten folgende Gleichung:

Diese Gleichung nennt Koordinatengleichung. Der Parameter d legt dabei die Lage der Ebene relativ zum Ursprung fest, ist aber nicht notwendigerweise mit dem Abstand der Ebene vom Ursprung gleichzusetzen. Die Koeffizienten a, b, c sind Komponenten eines Normalenvektors der Ebene (Normalenvektor kann jede beliebige Länge haben! Achtung!)



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