Il Teorema di Desargues
Questa sezione è tratta e fa riferimento al paragrafo 14 del libro di Castelnuovo, quello in cui si dimostra il Teorema di Desargues sui triangoli omologici.
Il Teorema di Desargues, conosciuto anche come teorema dei triangoli omologici, è un teorema che permette di definire quando due triangoli sono omologici, attraverso le condizioni necessarie e sufficienti qui sotto riportate.
Si considerino due triangoli di vertici , , e , , e lati , , e , , .
Perché siano due triangoli omologici devono verificarsi le seguenti condizioni:
- le rette , , , congiungenti i vertici corrispondenti, devono passare per un punto detto centro di omologia;
- i punti , , , intersezioni di lati corrispondenti, devono appartenere ad una stessa retta detta asse di omologia.
![La [i]Figura 1[/i] mostra la condizione 1 per avere triangoli omologici, la [i]Figura 2[/i] mostra la condizione 2](https://www.geogebra.org/resource/kykavbs7/iIfnUj548Q0wr8uB/material-kykavbs7.png)
Il teorema di Desargues afferma che queste condizioni sono l'una la conseguenza dell'altra.
Per semplicità spezzeremo il teorema in due parti, che verranno trattate come due teoremi separati.
Teorema di Desargues partendo dalla condizione 1
Siano due triangoli e , non aventi alcun elemento comune.
Se le rette congiungenti i vertici dell'uno con i vertici corrispondenti dell'altro , , passano per uno stesso punto .
Allora le intersezioni dei lati dell'uno con i lati corrispondenti dell'altro , , appartengono ad una medesima retta .
È opportuno sottolineare l'enunciato vale sia per i triangoli omologici che stanno su uno stesso piano e che su piani differenti; pertanto verrà dimostrato in entrambi i casi.
Dimostrazione da condizione 1 e con triangoli su piani differenti
1) Per ipotesi valgono le seguenti affermazioni:
- l'intersezione non è né il primo né il secondo triangolo (e quindi i due piani non sono coincidenti);
- le rette , , congiungenti i vertici corrispondenti, passano per il punto che non appartiene né a , né a per ipotesi.
Dimostrazione da condizione 1 e con triangoli su stesso piano
1) Per ipotesi che le rette , , congiungenti i vertici corrispondenti, passano per il punto di .
2) Per costruire il triangolo ausiliare si fissino due punti e allineati con e non appartenenti a .
3) Conducendo le rette proiettanti e appartenenti al piano , si ottiene la loro intersezione . Facendo lo stesso con le altre coppie di punti, si ottengono anche i punti e . Si definisca il piano condotto per i punti , e .
4) Si osserva che i triangoli e sono le proiezioni di su , rispetto ai centri e .
5) L'applicazione del Lemma e la definizione di omologia del paragrafo "Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano" restituiscono la tesi, dove è l'asse di omologia.
Per una dimostrazione dinamica più comprensibile, si suggerisce di togliere le spunte ai piani dopo essere passati al passaggio successivo.
Teorema di Desargues partendo dalla condizione 2
Siano due triangoli e , non aventi alcun elemento comune.
Se le intersezioni dei lati dell'uno coi corrispondenti lati dell'altro , , appartengono ad una medesima retta .
Allora le rette congiungenti i vertici dell'uno coi vertici corrispondenti dell'altro , , passano per uno stesso punto .
È opportuno sottolineare l'enunciato vale sia per i triangoli omologici che stanno su uno stesso piano e che su piani differenti; pertanto verrà dimostrato in entrambi i casi.
Dimostrazione da condizione 2 e con triangoli su piani differenti
1) Per ipotesi valgono le seguenti affermazioni:
- l'intersezione non è né il primo, né il secondo triangolo (e quindi i due piani non sono coincidenti);
- i punti , , , intersezioni delle corrispettive rette, stanno sulla stessa retta .
Per una dimostrazione dinamica più comprensibile, si suggerisce di togliere le spunte ai piani dopo essere passati al passaggio successivo.
Dimostrazione da condizione 2 e con triangoli su stesso piano
1) Per ipotesi i punti , , , intersezioni delle corrispettive rette, stanno sulla stessa retta .
2) Si costruisca il piano passante per la retta e si tracci su di esso il triangolo , tale per cui , , .
3) Si costruiscano le rette proiettanti , , utilizzando le rette passanti per i punti corrispondenti. La loro intersezione sarà il centro di proiezione che proietta il triangolo in .
4) Analogamente trovo il centro di proiezione che proietta il triangolo in .
5) Costruendo la retta che congiunge i due centri di proiezione, è possibile trovare il punto come traccia della retta sul piano . Per definizione , e sono allineati.
6) L'applicazione del Lemma e la definizione di omologia del paragrafo "Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano" restituiscono la tesi, dove è il centro di omologia.