Arbeit mit Gleichungen
Begriffe, Methoden und Verfahren
Das Lösen von Gleichungen ist für die Untersuchung von Funktionen ein unverzichtbares Arbeitsmittel. Gleichungen sind die Verbindung von zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen.
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Die beiden Terme nennt man die Seiten der Gleichung.
Enthält die Gleichung eine Variable, so erhält man durch das Einsetzen von Zahlen aus dem Grundbereich der Variablen in die Variable eine wahre oder eine falsche Aussage. Einsetzungen, die zu einer wahren Aussage führen heißen erfüllende Einsetzungen.
Ziel bei Gleichungen mit Variablen ist es, alle Zahlen zu finden die die Gleichung erfüllen.
Diese Zahlen nennt man Lösung der Gleichung und fasst sie zur Lösungsmenge zusammen.
Veränderungen der Gleichung, die zwar die Form ändern, die Lösungsmenge jedoch gleich lassen, nennt man Äquivalenzumformungen der Gleichung.
Wichtige Äquivalenzumformungen sind:
- Termumformungen eines oder beider Terme mit den Rechengesetzen der Algebra,
- Vertauschen der Seiten der Gleichung,
- Addieren oder Subtrahieren des gleichen Terms auf beiden Seiten der Gleichung,
- Multiplikation beider Seiten mit dem gleichen, aber von Null verschiedenen Term. (Division beider Seiten durch einen von Null verschiedenen Term.)
- Raten und Rechnen Angeben einer Zahl und Nachweis, das sie die Gleichung erfüllt (Probe).
- Isoliere/Freistellen der VariabelenDurch Äquivalenzumformungen der Gleichung entsteht eine einfache Gleichung, deren Lösung man leicht ablesen kann.
- Anwendung einer Lösungsformel Für quadratische Gleichungen gibt es Formeln, die alle Lösungen berechnen, wenn es überhaupt Lösungen gibt.
- Anwendung des Nullproduktsatzes Man überführt die Gleichung äquivalent in eine Form T(x)=0 und faktorisiert den Term. Ein Produkt wird genau dann Null, wenn (mindestens ) einer der Faktoren Null wird. Eine vollständige Fallunterscheidung durch Nullsetzen der Faktorterme liefert die Lösung der Ausgangsgleichung.
Beispiel für die Methode der Äquivalenzumformungen
