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Coordenadas homogéneas

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Comando GeoGebra asociado: no hay, el comando AplicaMatriz no se puede aplicar a estas matrices, al menos de momento. Hemos visto que si un punto P' tiene las mismas coordenadas que P pero respecto a un nuevos sistema de referencia S={O, a, b, c}, entonces sus coordenadas canónicas (es decir, respecto al sistema de referencia canónico S3 ={(0,0), i, j, k}) son:

= px+py+pz+

O, de forma más compacta:

P' = M P + O

donde M = (a | b | c), es la matriz de cambio de base:



Si sumamos las matrices del segundo miembro en la primera ecuación matricial, obtenemos:

que es equivalente a la ecuación matricial:

que a su vez se puede expresar como:

Observa el modo de escribir como matrices 4x1, con la última coordenada igual a 1, las coordenadas de P y P'. Estas nuevas coordenadas se denominan coordenadas homogéneas. La matriz 4x4 del segundo miembro se llama matriz ampliada, porque a la matriz de cambio de base M le hemos añadido las coordenadas homogéneas del punto O. Llamando T a esta matriz, la ecuación anterior queda como:

P' = T P

Nota: El término "homogéneas" alude a que las ecuaciones polinómicas (en varias variables) que usan tales coordenadas tienen todos sus monomios de igual grado. Por ejemplo la ecuación y2 - x3 + z + 1= 0 en coordenadas cartesianas se expresa como y2 w - x3 + z w2 + w3 = 0 en coordenadas homogéneas. Se usan en el espacio proyectivo, con el cual no nos meteremos en este libro. Gracias a la correspondencia entre transformaciones y matrices, resulta fácil comprobar que las transformaciones afines invertibles del espacio constituyen un grupo, denominado grupo afín (para más detalles, ver Grupo afín y el capítulo de Propiedades de las transformaciones afines). Nota: Recuerda que aunque en la construcción aparece P' = T P, debemos interpretar que en realidad las coordenadas de P' corresponden a las tres primeras componentes del vector cuatridimensional T P (cuya cuarta coordenada es siempre 1).
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.