quatre cercles de même rayon
Notations
A', B', C' ; les milieux des cotés ;
H l'orthocentre du triangle ABC ;
hA, hB, hC ; les pieds des hauteurs ;
fA, fB, fC ; les deuxièmes intersection des hauteurs avec le cercle circonscrit.
Construction au compas seul
Tracer le centre O du cercle circonscrit (c) au triangle ABC.
Construire le point O1 symétrique de O par rapport à (BC).
Le cercle (c1) de centre O1 passant par B et C est symétrique du cercle circonscrit.
De même tracer les symétriques O2 et O3 et les cercles (c2) et (c3).
Ces trois cercles se coupent en H, orthocentre du triangle, ce qui permet de construire les trois hauteurs (AH), (BH) et (CH) avec un compas.
Cercles circonscrits
Les symétries par rapport aux côtés du triangle transforment le cercle circonscrit au triangle ABC en des cercles passants par H : les cercles circonscrits au triangle ABC et aux triangles AHB, BHC et CHA sont de même rayon.
Démonstration
Les symétriques fA , fB et fC de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.
L'orthocentre H symétrique de fA est situé sur le cercle (c1) symétrique du cercle circonscrit (c),
de même H est sur les cercles (c2) et (c3).
Les quatre points A, B, C et H jouissent de la propriété que l'un d'entre eux est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres.
A est l'orthocentre de BCH, B l'orthocentre de ACH, C l'orthocentre de ABH.
On dit que les quatre points forment un groupe orthocentrique.
Descartes et les Mathématiques : géométrie ru triangle