Arcos de medio punto, escarzanos, de herradura, apuntados...

Autor:J. Cayetano Rodríguez (Formación Instituto GeoGebra Extremeño)

Los arcos de circunferencia son muy utilizados en construcciones. Los puntos en los que el arco se apoya el arco se llaman "impostas". La distancia entre las impostas se denomina "luz"

Los romanos solían utilizar medias circunferencias, y el arco se denominaba "de medio punto", de manera que el centro de la circunferencia está precisamente en la línea que une las impostas, y comprende un ángulo llano. Su altura es, precisamente, la mitad de su luz.
Cuando el centro está por debajo de la línea de impostas, el arco se denomina "escarzano", y comprende un ángulo menor de 180º. Por tanto, es un arco rebajado (su altura es menor que la mitad de su luz).
Si el centro está por encima, el arco se denomina "de herradura", y es un arco "ultrapasado" (altura mayor que la mitad de su luz).

Arco de circunferencia que modeliza el arco escarzano "Arco de la Estrella", en Cáceres. Debajo, la imagen original (descargar para repetir esta construcción). Ejercicio: buscar imágenes de otros arcos escarzanos, de medio punto o de herradura, y modelizarlos de la misma forma.

Arco de la Estrella, en Cáceres

Arco Carpanel de Tres Centros

Para disminuir el ángulo que forma el arco rebajado con las impostas, podemos añadir unas circunferencias tangentes tanto a ese primer arco como a los laterales. En particular, el centro de estos nuevos arcos debe estar en la línea de impostas. Así, obtenemos un arco formado a su vez por tres arcos de circunferencia, que denominamos Arco Carpanel (de tres centros). En este enlace puedes aprender más detalles sobre cómo crear este tipo de arcos. En ocasiones, pueden añadirse más circunferencias.

Arco Carpanel en una casa

Imagen para modelizar

Ejercicio. Fachada del CPR de Cáceres

La siguiente fotografía es de la fachada del CPR de Cáceres. Podemos identificar diferentes elementos matemáticos, dependiendo de en qué nos interese centrarnos. Analiza estos elementos utilizando GeoGebra. Por ejemplo:

La pequeña rampa de entrada, combinada con los escalones, sirven para el estudio de la pendiente de una recta.
Las propias escaleras, para analizar las rectas paralelas.
El hecho de que la foto se tomó con un pequeño ángulo, hace que "sobre el papel", el ángulo de los laterales y las escaleras no sea del todo recto, pero ¿nos aporta información sobre el ángulo que estaba haciendo la cámara con la vertical respecto al suelo mientras se tomaba la fotografía?
¿Qué figuras geométricas con las lámparas interiores?
¿Y las piedras del contorno? Analiza qué herramientas matemáticas y de GeoGebra utilizaríamos para modelizarlas.

Pero queríamos centrarnos en el estudio de los arcos. Para ello, lo analizaremos de la siguiente manera:

¿Cómo trazar el primer arco de la izquierda? (describe matemáticamente, y llévalo a cabo) Repite la actividad de manera que quede patente que es un arco de medio punto.
El arco central, ¿es igual que el de la izquierda? ¿Qué estrategias matemáticas podemos llevar a cabo para mostrarlo?
¿Y con el tercero?
La parte superior del arco, ¿qué tipo de circunferencia formaría respecto la parte inferior?

Comparando arcos

La siguiente imagen es del patio del edificio del Palacio de Toledo-Moctezuma de Cáceres, donde se encuentra el actual Archivo Histórico Provincial.

Podemos apreciar la diferencia entre un arco escarzano y uno de medio punto. Ambos tienen la misma flecha (altura), pero diferente luz (ancho).
Añadiendo un poco más de curvatura en los extremos del arco escarzano, lo transformaríamos en un arco carpanel de tres centros.
Vamos a observar las diferencias en la construcción. Compara las posiciones de los centros de las circunferencias y cómo varía el arco carpanel al modificar la posición del centro.

(*) Recuerda que puedes visitar esta actividad para aprender más sobre la construcción del arco carpanel.