Produto escalar (ou interno) de vetores

Observamos que é importante ter presente e sabida a matéria relacionada com segmentos orientados e vetores anteriormente estudada (nomeadamente, no 10.º ano do ensino secundário). Aproveitamos para relembrar que, quaisquer dois vetores admitem (sempre) dois representantes (isto é, dois segmentos orientados) complanares. Para vermos isso temos de considerar dois casos: 1) o caso em que um dos vetores é nulo e 2) o caso em que ambos os vetores são não nulos. O caso 1) é trivial e por isso apenas nos debruçamos sobre o caso 2). Sejam e dois vetores não nulos. Basta considerarmos um ponto arbitrário, , e dois pontos e tais que e , para termos o pretendido. Mais, as relações atrás podem ainda ser expressas da seguinte maneira: e . Relembramos também que projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é o ponto de interseção de com a reta que passa em e é perpendicular a (isto é, é o pé da perpendicular do ponto sobre a reta ). Vamos então abordar o que nos propusemos fazer neste capítulo. Suponhamos fixada uma unidade de medida de comprimento e sejam e dois vetores não nulos. Consideremos um ponto arbitrário, , dois pontos e tais que e , e o ponto , a projeção ortogonal de na reta . O produto escalar (ou interno) dos vetores e , que vamos representar por , é o número ou o número (respetivamente), consoante os vetores e tenham o mesmo sentido ou sentidos contrários (respetivamente). No caso de algum dos vetores e ser o vetor nulo, o produto escalar é zero. Notamos que, no caso do vetor ser o vetor nulo, tem-se que e, portanto . Observamos também que, neste caso, uma vez que o vetor é não nulo isso significa que os vetores e são perpendiculares (por definição de projeção ortogonal do ponto sobre a reta ). Observamos que o termo "escalar" indica que o resultado desta operação (produto) entre vetores não é um vetor mas sim um número (escalar). Na apliqueta abaixo temos uma representação geométrica onde podemos observar diferentes casos do que falámos atrás. Arrastando os pontos O, P e Q podemos observar geometricamente diferentes vetores e (seus representantes) segmentos orientados que podemos obter. Podemos também observar a projeção ortogonal e, geometricamente, comparar os comprimentos dos segmentos de reta cujos extremos estão relacionados com as construções mencionadas no texto anterior.