Forme quadratique en 3D
Une application linéaire est définie par l'image des trois vecteurs de base. Sa matrice M dans la base canonique est composée de chacunes de leurs coordonnées, arrangées en colonnes. Le déterminant de la matrice est le volume (algébrique) du parallélépipède engendré par ces trois côtés.
Chaque point de la sphère unité est envoyé sur une ellipsoïde. Ses axes sont donnés par sa décomposition en valeurs singulières. Quand la matrice est symétrique, ce sont ses vecteurs propres.
N'hésitez pas à tourner la figure!
Vous pouvez faire afficher la base afin de modifier la matrice, colonne par colonne, en bougeant les images des vecteurs de base (Rouge, Vert, Bleu). Vous pouvez aussi les éditer par le champs de Saisie en entrant les coordonnées de M1, M2 et M3, les points définissant les images des vecteurs de base.
Vous pouvez bouger le point A et voir son image MA.
Vous pouvez également faire afficher les quadriques: la sphère et son image par l'application linéaire. Vous voyez également les trois vecteurs unités, envoyés sur les trois axes principaux de l'ellipsoïde. Le point B est plus facile à manipuler que le point A car il est attaché à la sphère. Observez quand vous l'alignez avec la base orthogonale définie sur la sphère comment l'image MB s'aligne avec les axes principaux.