Derivata seconda e concavità
In questo paragrafo introdurremo la derivata seconda di una funzione, indicata con il simbolo . Con questo termine si indica la derivata della sua derivata. Il concetto si può generalizzare: la derivata terza è la derivata della derivata seconda, e così via. In generale si parla di derivate successive.
La derivata seconda è tuttavia l'ultima che ha un significato evidente riguardo alle caratteristiche della funzione: se la derivata prima indica la velocità con cui la varia rispetto alla , la derivata seconda indica la velocità con cui cambia questa velocità, cioè l'accelerazione con cui varia la .
Dal punto di vista grafico tale proprietà viene visualizzata dalla concavità della curva del grafico, come mostrato nell'animazione qui sotto.
Vediamo lo stesso concetto in questa seconda animazione, che lo riassume.
Dallo studio del segno della derivata seconda si arriva quindi a capire l'orientamento della concavità della funzione: negli intervalli delle in cui la funzione ha la concavità rivolta verso l'alto, in quelli in cui risulta la concavità è rivolta verso il basso. Nei punti di confine tra un intervallo e l'altro, in cui presumibilmente , si ha un cambio di concavità, ed i punti corrispondenti sono detti di flesso.
Parlando dei punti di non derivabilità abbiamo anticipato i flessi verticali, che sono punti in cui la derivata seconda cambia di segno (flesso) e la derivata prima tende a (quindi la tangente alla funzione è verticale); in generale si possono avere anche flessi orizzontali (se la derivata prima in quel punto è zero) o obliqui (la derivata prima assume un qualsiasi valore finito).
