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4. Ángulo entre dos planos/Ángulo entre una recta y un plano

Ángulo entre dos planos

El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo determinado por los vectores normales de dichos planos y entre planos y rectas lo podemos establecer con un vector paralelo a la recta (el vector dirección, por ejemplo) y un vector normal.
Para ello conviene recordar que dado un plano π de ecuación π: Ax+By+Cz+D=0, un vector perpendicular a dicho plano (vector normal al plano) es n=(A,B,C) Así, si tenemos:
  • π1 plano con vector normal n1.  
  • π2 plano con vector normal n2.
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Entonces:
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Por lo que para obtener nos queda lo siguiente:
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De acuerdo a lo anteriormente mencionado, tomamos los vectores normales
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Y finalmente obtenemos la fórmula para calcular el ángulos entre planos
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EJEMPLO:
Hallar el ángulo que forman los planos: Obtenemos sus vectores normales Aplicamos la fórmula Y obtenemos que

EJERCICIO: Dados los planos: π1:3x−y+2z+1=0 π2:2x+y−5z−1=0 Encontrar el ángulo que forman.

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
  • C
  • D
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Ángulo entre una recta y un plano

Una recta puede estar incluida en un plano, ser paralela a él, o bien ser secantes. El ángulo entre ellos se define de la siguiente manera en cada caso:
  • Si la recta está incluida en el plano o ambos son paralelos, la recta y el plano forman un ángulo de 0∘.
  • Si la recta y el plano son secantes, definimos el ángulo α entre la recta y el plano como el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano.
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Si definimos el ángulo entre la recta y el plano como el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal sobre el plano, podemos realizar el cálculo a partir del ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal al plano. Por tanto, si tenemos:
  • π: plano.
  • r: recta.
  • s: recta perpendicular al plano.
  • vr: vector director de la recta r.
  • vp: vector director de la proyección de la recta sobre el plano.
  • n: vector normal (perpendicular) al plano (y director de s).
Entonces:
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Además, si vr=(v1,v2,v3) y n=(A,B,C), podemos expresar la fórmula anterior en componentes como:
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EJEMPLO:
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EJERCICIO: Calcula el ángulo formado por la recta r y el plano π: r:(x,y,z)=(5,1,0)+k⋅(0,1,3) π:3x−y+2z+1=0

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