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EVENTOS

Author:JoseNiedson

DEFINIÇÃO

Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo. Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos: A = Obter um número par:       A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 B = Sair um número primo:       B = {2, 3, 5} e n(B) = 3 C = Sair um número maior ou igual a 5:       C = {5, 6} e n(C)= 2 D = Sair um número natural:       D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6"

TIPOS DE EVENTOS

Evento certo O conjunto do evento é igual ao espaço amostral. Exemplo Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher. Evento impossível O conjunto do evento é vazio. Exemplo Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas. O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20. Evento complementar Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro. Exemplo No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}. Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço amostral.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVO

Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia. Exemplo Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4} B: ocorrer um número maior que 5, A={6}

UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é calculada por:

Em outras palavras, a probabilidade da união de dois eventos é a chance do primeiro ou do segundo evento ocorrer. "Dados dois eventos, A e B, todos em um mesmo espaço amostral Ω (lê-se: ômega), então a probabilidade da união desses eventos, ou seja, P(A ∪ B), é calculada por:"

A fórmula diz que a probabilidade da união entre os eventos A e B é igual à probabilidade do evento A ocorrer, mais a probabilidade do evento B ocorrer, menos a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B. Existem casos em que os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, possuem intersecção vazia. Nesses casos, consequentemente, a probabilidade da intersecção será igual a zero, ou seja, P(A ∩ B) = 0. Portanto, quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união desses eventos é calculada por:

Como calcular a probabilidade da união de dois eventos? Para calcular a probabilidade da união de dois conjuntos, é necessário encontrar os dados para calcular cada uma das probabilidades. São eles: n(A) → número de elementos correspondentes ao evento A; n(B) → número de elementos correspondentes ao evento B; n(Ω) → número de elementos no espaço amostral; n(A ∩ B) → número de elementos na intersecção entre os eventos A e B. Munidos desses dados, basta substituirmos na fórmula da probabilidade da união de dois eventos cada uma das probabilidades."

Exemplos

Exemplo 1

Em uma sala de aula, há 25 alunos, sendo que 15 deles são meninas e 10, meninos. Durante as aulas de matemática, o professor resolveu fazer um sorteio entre os alunos que se saíram melhor no teste. Sabendo que nessa sala há 8 alunos que usam óculos e que 3 deles são meninas, calcule a probabilidade de o sorteado ser uma menina ou alguém que usa óculos.

Resolução: Inicialmente, vamos definir os eventos: A → o sorteado é uma menina. B → o sorteado usa óculos. Sabemos que: n(A) é igual ao número de meninas. n(A) = 15 n(B) é igual ao número de alunos que usam óculos. n(B) = 8 n(Ω) → número de alunos. n(Ω) = 25 n(A ∩ B) → número de meninas que usam óculos. n(A ∩ B) = 3 Então, temos que:

Exemplo 2



Uma moeda foi lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas caras ou duas coroas?

Resolução: Ao se lançar a moeda três vezes consecutivas, teremos os seguintes resultados possíveis: Ω = {(cara, cara, cara); (cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara); (coroa, coroa, coroa); (coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)} Logo, n (Ω) = 8. Evento A → Se obter exatamente duas caras. A = {(cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara)} n(A) = 3 Evento B → Se obter exatamente duas coroas. B = {(coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)} n(B) = 3 Analisando os conjuntos A e B, é possível perceber que não há nenhum elemento em comum aos dois conjuntos. Logo, esses conjuntos são mutuamente excludentes. Desse modo, n(A ∩ B) = 0. Por fim, temos que:



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