Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Třída
GeoGebra

Zlatý řez a pětiúhelník

Autor:Šárka Voráčová
Téma:Geometrie
Konstrukce pravidelného pětiúhelníku v Eukleidových Základech využívá Zlatého trojúhelníku, což je rovnoramenný trojúhelník se zaltým poměrem mezi ramenem a základnou. Rozpůlíte-li úhel při základně, získáte opět Zlatý trojúhelník.
Důkaz zlatého řezu v pentagonu, viz jreichl.com Vzhledem ke shodnosti trojúhelníků ASC a ABC, má rovnoběžník ABSC všechny čtyři strany stejně dlouhé. Navíc výšky na základny trojúhelníků ABC a ASC leží na téže přímce, která navíc půlí stranu AC (výška na základu je v rovnoramenném trojúhelníku současně těžnicí). Proto je rovnoběžník ABSC kosočtverec.Trojúhelníky ABC a ESD jsou podobné, a proto platí:

.

Úhlopříčky AC a EC jsou navzájem stejně dlouhé a úsečky AB, CS a ED jsou navzájem také stejně dlouhé, tedy

Což je definice zlatého řezu.
Nyní již byla konstrukce pravidelného pětiúhelníka snadná:
  1. Sestrojíme úsečku EC.
  2. Pomocí konstrukce zlatého řezu najdeme bod S.
  3. Z bodu C opíšeme kružnici k o poloměru rovném délce úsečky EC.
  4. Z bodu E opíšeme kružnici l o poloměru rovném délce úsečky CS (tj. rovné délce strany pravidelného pětiúhelníka).
  5. Na průsečíku kružnic k a l leží vrchol A hledaného pětiúhelníka.
  6. Z bodů A a C sestrojíme kružnice o poloměru rovném délce úsečky CS a na jejich průsečíku získáme vrchol B pětiúhelníka.
  7. Z bodů E a C sestrojíme kružnice o poloměru rovném délce úsečky CS a na jejich průsečíku získáme vrchol D pětiúhelníka.
Poznámka: Eukleidovských konstrukcí zlatého řezu je víc, ve II. knize Základů popisuje konstrukci zlatého obdélníku věta 11, viz GeoGebra Eukleides II, V11.
Nejznámější konstrukce je geometrickým řešením kvadratické rovnice pro a = b, popsaným v Základech, viz jreichl. 

Nové materiály

Objevujte materiály

Objevte témata