Uma pequena contextualização

Os “Elementos” de Euclides assumem um papel fundamental na história da Matemática, pois as definições, os axiomas ou postulados (conceitos e proposições admitidos sem demonstração e que constituem os fundamentos da obra, nomeadamente, os de ponto, reta e plano) e os teoremas, não aparecem como mera reunião de noções e resultados, mas, antes, são apresentados por uma ordem determinada que garante a validade lógica da obra. Cada teorema resulta dos axiomas, dos postulados, das definições e dos teoremas anteriores, de acordo com demonstrações rigorosas. Este método, chamado , estabeleceu um sistema lógico em que, desde aí, se baseou todo o trabalho matemático (e, em geral, todo o trabalho científico). No entanto, é necessário referir que, apesar da excelência do trabalho feito nos “Elementos” de Euclides, existem imperfeições. Algumas das suas demonstrações admitem resultados sem demonstração (embora, muitas vezes, sejam intuitivos), e os seus postulados não são unanimemente aceites como necessários: nomeadamente, o V Postulado. A Geometria na Superfície Esférica ou, simplesmente, Geometria Esférica (como doravante a iremos chamar neste trabalho), que conta com resultados que remontam à antiguidade clássica, e que tem diversas e importantes aplicações práticas ao longo da história, vai constituir um exemplo de que o V Postulado é necessário nas geometrias euclidianas, pois, caso não seja adotado, obtêm-se geometrias diferentes. É com estas premissas e motivações que vamos então, com as devidas considerações, tentar estabelecer uma correspondência entre Geometria no Plano (uma geometria euclidiana) e a Geometria Esférica, apontando semelhanças e evidenciando diferenças, ao mesmo tempo que proporcionaremos, talvez, o primeiro encontro do leitor com uma geometria não euclidiana. Esta obra GeoGebra dedica-se, essencialmente, a relembrar parte da axiomática de Geometria no Plano, parte integrante dos Programas e Metas Curriculares de Matemática para o Ensino Básico (o que fazemos no Subcapítulo 2.2, de nome Geometria no Plano - Postulados de Euclides); a introduzir algumas noções basilares de Geometria Esférica (o que fazemos no Subcapítulo 3.1, de nome Geometria Esférica - Preliminares); e, com determinadas correspondências estabelecidas, a ver de que maneira essa axiomática se "concretiza" em Geometria Esférica (o que fazemos no Subcapítulo 3.2, de nome Geometria Esférica - Postulados de Euclides). Desta maneira, pretendemos contribuir para um aprofundamento e/ou complementação das aprendizagens de Matemática A dos alunos do Ensino Secundário, nomeadamente:

• clarificando e explorando a estrutura axiomática, base fundamental e que garante a validade lógica do trabalho científico,
• introduzindo a Geometria Esférica e averiguando se é uma geometria euclidiana, e
• fomentando futuras explorações de Geometria Esférica através das bases aqui estabelecidas.