2.Logaritmus azonosságai
2.Logaritmus azonosságai
Tétel: Szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével:
, ahol x, y>0, a>0, a1.
Bizonyítás: A logaritmus definíciója alapján:és , illetve
Nézzük az állítás bal oldalát: az azonos alapotú hatványok szorzása és a logaritmus definíciója miatt. Így a bizonyítandó állítás igaz. Tétel: Tört logaritmusa megegyezik a számláló és a nevező logaritmusának különbségével:,ahol x,y>0, a>0, a1.
Tétel:Hatvány logaritmusa az alap logaritmusának és a kitevőinek a szorzata:,ahol x>0, a>0 ,a1,kR.
Tétel: Áttérés más alapú logaritmusra:, ahol a,b,c>0, a,c1.
Bizonyítás: A logaritmus definíciója alapján: . Írjuk fel: , a logaritmus definíciója és a hatvány logaritmusa miatt. Kaptuk: :/ feltételek miatt. Ígz: . Ez a bizonyítandó állítás.