Condiciones Suficientes para la existencia de extremos locales
Condiciones Suficientes para la existencia de extremos locales
Mínimos o Máximos de una función con la Matriz Hessiana
El primer paso es calcular los puntos críticos de la función, para esto, calculamos el gradiente de la función (derivadas parciales respecto a cada variable) y lo igualamos a cero. Obtuvimos que nuestro punto crítico p= Posteriormente calculamos la matriz Hessiana, que consiste en lo siguiente en calcular las segundas derivadas de nuestra función.
En este caso, nuestra matriz Hessiana es:
Evaluamos el punto crítico en la matriz Hessiana:
En este caso, utilizamos el criterio de Sylvester para resolver la matriz Hessiana.
El criterio de Sylvester determina que;
- Si la matriz Hessiana es definida positiva, es decir, que todos los menores positivos son mayores que cero, el punto crítico es un mínimo relativo en la función.
- La matriz Hessiana es definida negativa, si los menores principales par son mayor que 0 y los de índice impar son menores que 0, el punto crítico es un máximo relativo en la función
- Si no se cumplen los criterios anteriores, la matriz Hessiana es indefinida y por lo tanto el punto crítico es un punto silla Calculamos el primer menor de la matriz Hessiana que en este caso fue 6 El segundo menor fue negativo, por lo tanto, podemos decir que la matriz Hessiana es Indefinida.
Como la matriz Hessiana es indefinida, el punto crítico es un punto silla.
Finalmente, para poder graficar el punto silla, utilizamos las coordenadas del punto crítico, añadiendo la función evaluada en ese punto, tal que