Altre osservazioni sulle proiezioni di una figura sopra un piano
Questa sezione è tratta e fa riferimento al paragrafo 11 del libro di Castelnuovo.
Nella sezione precedente è stato dimostrato che due figure e appartenenti ai piani e distinti sono l'una proiezione dell'altra rispetto ad un centro , allora:
- tutte le rette , ,... che congiungono punti corrispondenti distinti, passano per uno stesso punto (per osservazione 4);
- tutti i punti , ,... in cui si segano rette corrispondenti distinte, appartengono alla stessa retta (per osservazioni 2 e 4).
Proiezioni su un piano da centri diversi
Siano ora due figure , appartenenti ad uno stesso piano , tale che siano proiezioni da due centri diversi , di una terza figura appartenente ad un altro piano .
Per semplicità considereremo come e :
- i punti corrispondenti ed , proiezioni del punto di ;
- le rette corrispondenti ed , proiezioni della retta di .
Dimostrazione OSSERVAZIONE 6-a
OSSERVAZIONE 6-b: Siano i piani e , le rette , , ed i centri di proiezione e che soddisfano quanto detto sopra. Allora due rette corrispondenti , di , devono passare per la traccia
della retta sul piano , traccia la quale appartiene alla retta ; dunque rette corrispondenti distinte di ed si segano in un punto della retta fissa .
Dimostrazione OSSERVAZIONE 6-b
Dalle due precedenti si ricava un'unica osservazione riassuntiva.
OSSERVAZIONE 6: Due figure e , appartenenti allo stesso piano , tale che siano proiezioni da due centri diversi , di una terza figura appartenente ad un altro piano . Allora:
- tutte le rette , ,... che congiungono punti corrispondenti distinti, passano per uno stesso punto;
- tutti i punti , ,... in cui si segano rette corrispondenti distinte, appartengono alla stessa retta .
Definizione: Figure Omologiche
Considerando due figure piane e corrispondenti come in uno dei due casi osservati nel paragrafo precedente, in cui le rette congiungenti punti corrispondenti passano tutte per uno stesso punto ed i punti di incontro di rette corrispondenti stanno tutti sopra una stessa retta :
- Le figure e si dicono omologiche (o prospettive).
- Il punto per cui passano tutte le congiungenti è il centro di omologia. La retta
- La retta sopra cui si trovano tutte le intersezioni è l'asse di omologia.
Lemma
LEMMA: Due triangoli sono omologici, sia quando, giacendo in piani diversi, sono l'uno proiezione dell'altro, sia quando, giacendo in uno stesso piano, sono entrambi proiezioni (da centri diversi) di uno stesso triangolo situato in un altro piano.