Β' Λυκ-Κεφ4 Κυκλικές Κιν-Μεταβαλλόμενη Κυκλική (RK4)
Προϋποθέσεις για Ανακύκλωση...
Η σφαίρα αφήνεται από αρχικό ύψος να ολισθήσει σε λεία σιδηροτροχιά (επιλέξτε "Ολίσθηση, χωρίς κύλιση").
Κατά την κίνηση της σφαίρας η Μηχανική Ενέργειά της διατηρείται, εφόσον το ολικό έργο των μη διατηρητικών δυνάμεων (κάθετη δύναμη ) είναι μηδενικό: Το άθροισμα της βαρυτικής δυναμικής ενέργεια τού συστήματος Σφαίρας - Γης και της κινητικής ενέργειας της σφαίρας παραμένει σταθερό. Χρησιμοποιώντας ενεργειακά επιχειρήματα μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας τής σφαίρας συναρτήσει του αρχικού ύψους και τού ύψους στο οποίο βρίσκεται η σφαίρα:
(1)
Προϋπόθεση για οποιανδήποτε κυκλική κίνηση είναι η ακτινική συνιστώσα της συνισταμένης δύναμης, , να είναι κεντρομόλος, δηλαδή να έχει μέτρο ίσο με . Στην ειδική περίπτωση που η εφαπτομενική στην τροχιά (επιτρόχιος) συνιστώσα της συνισταμένης δύναμης, , είναι μηδενική, τότε το σώμα εκτελεί Ομαλή Κυκλική Κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα . Εάν η είναι μη μηδενική (όπως εδώ), τότε η κίνηση είναι Μεταβαλλόμενη Κυκλική, αφού εμφανίζεται γωνιακή επιτάχυνση και η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται.
Ως εκ τούτου, για να μπορέσει η σφαίρα να διαγράψει την κατακόρυφη κυκλική τροχιά - να εκτελέσει Ανακύκλωση - θα πρέπει . Όμως, υπάρχει ο περιορισμός ότι . Συνεπώς, . Η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη της τιμή στο κλειστό διάστημα για . Επομένως, θα πρέπει στο ανώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς της η σφαίρα να έχει ταχύτητα μέτρου:
(2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει το ελάχιστο ύψος απ' το οποίο μπορεί να αφεθεί η σφαίρα και να εκτελέσει ανακύκλωση ολισθαίνοντας:,
όπου ουσιαστικά στην ανάλυσή μας θεωρήσαμε τη σφαίρα ως υλικό σημείο. Στην περίπτωση που η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, θα πρέπει να τη θεωρήσουμε ως εκτεταμένο στερεό σώμα (σφαίρα ακτίνας ), το οποίο -πέραν της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης- έχει και κινητική ενέργεια εκ περιστροφής: Η Ολική Κινητική Ενέργεια ισούται με , όπου η ταχύτητα τού ΚΜ, η ροπή αδράνειας της σφαίρας και η γωνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται γύρω από το ΚΜ της. Για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα πρέπει να ισχύει . Συνεπώς, και . Καταλήγουμε, έτσι, ότι το ελάχιστο ύψος από το οποίο θα πρέπει να αφεθεί η σφαίρα, ώστε να εκτελέσει ανακύκλωση κυλιόμενη, είναι , δηλαδή μεγαλύτερο κατά 8% από το αντίστοιχο ύψος για ανακύκλωση με ολίσθηση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στην Ανακύκλωση με κύλιση μέρος της της σφαίρας θα μετατραπεί σε κινητική ενέργεια περιστροφής (το επιπλέον 8% της ), και ως εκ τούτου, απαιτείται μεγαλύτερη αρχική βαρυτική δυναμική ενέργεια (άρα μεγαλύτερο αρχικό ύψος), ώστε η σφαίρα φτάνοντας στο ανώτατο σημείο της κυκλικής τροχιάς της να έχει την ελάχιστη απαιτούμενη μεταφορική κινητική ενέργεια. Παρατηρήσεις: Στην προσομοίωση, οι ακτίνες και αναφέρονται στις ακτίνες της τροχιάς τού ΚΜ τής σφαίρας. Συγκεκριμένα, το κυκλικό τόξο (τμήμα της αυλακωτής τροχιάς από το οποίο αφήνεται αρχικά η σφαίρα) έχει ακτίνα , ενώ ο κύκλος όπου η σφαίρα κάνει την ανακύκλωση έχει ακτίνα , όπου η ακτίνα της σφαίρας.