Húrnégyszögek tétele (29.)
Az Euklideszi geometriában bebizonyítjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, a szemközti szögeinek összege egyenesszög. A bizonyításkor a kerületi és középponti szögek tételét használjuk, ami viszont nem teljesül a nemeuklideszi geometriákban. Ebből következően érdemes megnézni ezt a modelljeinkben.
A hiperbolikus geometriában
A gömbi geometriában
Ezek szerint, ha egy abszolút geometriai tételt akarnánk megfogalmazni, akkor:
Bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege egyenlő,
A bizonyításhoz nem használhatjuk a kerületi és középponti szögek tételét, mert az csak az Euklideszi geometriában érvényes.
A négyszög bármely oldala a végpontjaiba mutató sugarakkal egyenlő szárú háromszöget ad, aminek az alapon fekvő szögei egyenlők. ennek felhasználásával bizonyítható a tétel.
A most megfogalmazott tétel megfordításán is érdemes gondolkodni:
Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege egyenlő, akkor a négyszög húrnégyszög. A bizonyítás indirekt módon történhet. Nézzük most azt az esetet, amikor a C az ABD háromszög köré írható kör külső pontja!
Lehet ez?
Az Euklideszi geometriában nyilván nem, mert ott 1=+1. Itt ellentmondásra jutottunk, tehát igaz a tétel megfordítása.