2023 - Sess. Straord. - P1(a)
Si consideri la famiglia di funzioni con e .
- Verificare che tutte le curve rappresentate dalle funzioni della famiglia passano per uno stesso punto e scrivere le sue coordinate.
- Determinare, in funzione del parametro le ascisse degli estremi e dei flessi e calcolarne il limite per .
- Scrivere le equazioni degli asintoti e tracciare i grafici delle funzioni , evidenziando le differenze tra i casi in cui è pari da quelli in cui è dispari.
SOLUZIONE
Il dominio di , indipendente da è .
Risolvendo il sistema che si ottiene sostituendo all'espressione di due valori, ad esempio e , si ottiene il punto .
Sostituendo le coordinate di in si ottiene un'identità, che mostra che il punto è comune a tutte le curve.
In generale:
quindi la retta di equazione è un asintoto orizzontale comune a tutte le funzioni. L'esistenza dell'asintoto orizzontale esclude l'esistenza di un asintoto obliquo.
Derivate:
e e .
Nota: I grafici delle funzioni che si ottengono per valori pari e dispari di sono illustrati di seguito. Utilizza gli slider per esplorare le funzioni.
quindi la retta di equazione è un asintoto orizzontale comune a tutte le funzioni. L'esistenza dell'asintoto orizzontale esclude l'esistenza di un asintoto obliquo.
Derivate:
e e .
Nota: I grafici delle funzioni che si ottengono per valori pari e dispari di sono illustrati di seguito. Utilizza gli slider per esplorare le funzioni.Caso n pari
Caso n pari - caratteristiche delle funzioni
quindi la retta di equazione è asintoto verticale comune a tutte le funzioni con pari.
Studiando il segno della derivata prima, con pari, si ha che la funzione è:
- crescente in
- decrescente in
- ha un punto di minimo relativo in
Studiando il segno della derivata seconda, con pari, si ha che la funzione:
- ha la concavità rivolta verso l'alto in
- ha la concavità rivolta verso il basso in
- ha un punto di flesso in Caso n dispari
Caso n dispari - caratteristiche delle funzioni
Studiando il segno della derivata prima, con dispari, si ha che la funzione è:
- crescente in
- decrescente in
- ha un punto di massimo relativo in
- ha un punto di minimo relativo in
Studiando il segno della derivata seconda, con dispari, si ha che la funzione:
- ha la concavità rivolta verso l'alto in
- ha la concavità rivolta verso il basso in
- ha due punti di flesso in