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GeoGebraTarefa

Derivada direcional

Definição: Seja uma função escalar de várias variáveis, seja um vetor unitário em e . A derivada direcional de no ponto na direção , denotada por , é a função escalar definida por O domínio de é o subconjunto do para o qual o limite acima exista. Observe no applet abaixo a relação entre o vetor unitário e a inclinação da reta tangente a curva gerada pela interseção do plano com o gráfico da função, no ponto
Interpretação Geométrica: Seja a função e sejam e o vetor unitário dado por , sendo . Como pertencem a um conjunto aberto contido no domínio de , temos que existe , tal que . Considere então a curva parametrizada pela função dada por: onde . Observe que, construída dessa forma, é uma curva contida no gráfico da função dada pela interseção do gráfico da função com o plano vertical que contém a reta . Note também que , de modo que Desta forma, como , temos que Como é um vetor unitário, temos que , onde é o ângulo formado pelos vetores e , o qual fornece a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Temos portanto que fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva , no ponto , onde é dada pela interseção do gráfico da função com o plano vertical que contém a reta . Observe que se , temos que e que se , temos que Observe no applet abaixo, para , e , a curva gerada pela interseção do gráfico de com o plano vertical que contém a reta .
Teorema 1 Se é uma função diferenciável em , então: , para todo vetor unitário em . Teorema 2 Se é uma função diferenciável em , tal que , então : a) O valor máximo da derivada direcional de , no ponto , ocorre quando e neste caso o valor máximo é dado por . Temos assim, que fornece a direção e sentido de maior crescimento de função partindo-se do ponto . b)O valor mínimo da derivada direcional de ,no ponto , ocorre quando e, neste caso, o valor mínimo é dado por . Temos assim, que fornece a direção e o sentido de maior decrescimento da função, partindo-se do ponto . c) O valor da derivada direcional de , no ponto , é nulo quando é perpendicular à . Observe no applet abaixo os diferentes valores que a derivada direcional pode tomar, variando o vetor . Avalie a partir dos diferentes ângulos e direções em relação ao vetor gradiente.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*