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Números primos y compuestos. Visualización

Autor:Javier Cayetano Rodríguez
A continuación tenemos una forma de visualizar números primos.
Cuando el número es primo, la única forma de rellenarlo a base de otro número sin que sobre nada es usar pequeños bloques de 1, o bien el propio número.
Pero ojo, que para saber si un número es primo habría que probar que no se puede con ninguno de los números más pequeños que él. Por ejemplo:
  • el 20 no se puede rellenar con bloques de 3
  • pero eso no quiere decir que sea primo, porque
  • ¡está claro que sí se puede rellenar con bloques de 2!
Todavía no se conoce una forma para comprobar inmediatamente si un número muy grande es primo, aunque hay algunas técnicas para acelerar bastante el proceso. Nosotros, por ahora, lo comprobaremos para números pequeños, donde sí podemos buscar uno a uno. Para ello, vamos a usar la siguiente actividad:

Instrucciones

Introduce un número en la casilla, para comprobar si es primo. La lista de los primeros primos nos la da el propio applet. Pero qué pasa con números más grandes, como el 91? ¿será primo? Podemos elegir diferentes tamaños de bloque, a ver si conseguimos rellenarlo del todo. Basta con poner el tamaño en la casilla de la derecha y ver qué ocurre. Marcando la casilla "Pista", nos dirán si el número es primo o no y cuáles son sus divisores.

Pensando

Fíjate en que los divisores son los únicos que permiten rellenar nuestro número completamente. Razona matemáticamente por qué ocurre esto. Pista: está relacionado con el cociente y el resto de la división entera.

Reduciendo nuestras comprobaciones

Hemos dicho que es complicado comprobar si un número es primo, porque hay que probar con todos los menores que él. Sin embargo, hay formas de reducir esa búsqueda. Razona por qué funcionan las siguientes formas de acelerar la búsqueda:

  1. Podemos usar únicamente números primos ya conocidos. Por ejemplo, no es necesario comprobar el 6 si ya hemos comprobado con el 2 o con el 3, que sabemos que son primos.
  2. Basta con probar números hasta la mitad. Por ejemplo, para comprobar si 31 es primo, no hace falta probar con los números del 2 al 30. Bastará con llegar hasta 15.
  3. También podemos quedarnos en la raíz cuadrada entera del número. Para probar si 31 es primo, nos basta con probar los números hasta 5, porque su raíz cuadrada entera es 5 (pues 62=36, mayor que 31).

Curiosidad. ¿Qué ocurre con el número 1?

La consideración del número 1 como número primo ha cambiado a lo largo de la historia. Antiguamente, la mayoría de los matemáticos consideraban al 1 como un número primo. Sin embargo, esta visión ha evolucionado con el tiempo porque, por ejemplo, es conveniente para enunciar el

Teorema Fundamental de la Aritmética: todo número natural puede escribirse de forma única como producto de factores primos, salvo el orden.
Hasta el siglo XIX no se llegó a un consenso entre los matemáticos para que el 1 no se considerase número primo.
  1. Ahora es nuestro turno de escribir un sencillo "contraejemplo" en el que si aceptasemos el número 1 como primo, entonces el Teorema Fundamental de la Aritmética no se cumple. Pista: es fácil encontrar el contraejemplo. Por supuesto, tendrá que aparecer el número 1.
  2. Por último, reflexiona: si en una factorización en producto de números primos que escribamos nosotros, aparece el número 1 escrito como factor, ¿la factorización estará bien hecha?

Revisa tu respuesta

¿Qué te ha parecido?

Por último, anotaremos en el porfolio de clase o aquí lo que hemos aprendido y si nos parecen útiles esta forma de visualizar si un número es primo o compuesto. ¿Sabías que este tema tiene mucho que ver con la seguridad en internet? Se utiliza precisamente para encriptar/codificar mensajes, basándonos en lo difícil que es averiguar si un número ¡de miles de cifras! es primo o no. No te olvides de escribir si esta actividad te ha resultado divertida y curiosa. ¿Crees que te ha ayudado a asimilar los conceptos de número primo, compuesto, divisor, resto...?

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