G 06 Pentagramma mirificum - a csodálatos ötszög
A colostok (mai nevén: fa mérőléc)
A colostok valaha ott volt minden szerszámos kamrában. Manapság kevés gyereknek kerül a kezébe, pedig ... kiválóan lehetett vele "tanulmányozni" az alábbi problémát.
Feladat:
Készítsünk olyan GeoGebra fájlt, amely előállítja az összes egyenlő oldalú ötszöget (egyenlő oldalú zárt síkbeli ötszögvonalat)!
Pontosabban:
Lényegében egy öt egyenlő szakaszból álló síkbeli csuklós szerkezetet kell vizsgálnunk.
Mivel az így kapott ötszögvonal szögei változhatnak, nyilvánvalóan végtelen sok megoldása lesz a feladatnak. Így hát állapodjunk meg abban, hogy az egybevágó, valamint az egymásba folytonos mozgással átvihető alakzatokat ne tekintsük különbözőnek. Így az egyszerű - önátmetsző tulajdonság se tegyen különbséget két alakzat között.
Az ABCDE egyenlő oldalú ötszög A és B csúcsát rögzítve a D csúcsot - megfelelő határok között - mozgatva, a C és E csúcs megszerkeszthető. Ha AB=1, akkor a BD és DA távolság legfeljebb 2, tehát a D pontnak belül kell lennie két, A ill. B középpontú 2 sugarú körön.
A szerkesztést tervezve hamar rájöhetünk, hogy az egyenlő sugarú körök két-két pontban metszik egymást, és ezek közül választanunk kell. Ha a BCD ∢ ,a DEA ∢ -vagy mindkettő egyenes szöggé válik, akkor (újra?) ki kell jelölnünk, hogy a C ill. E pontokat meghatározó körök metszéspontjai közül melyiket vegyük figyelembe.
Azt, hogy pl. a BD=2 azaz BCA ∢ =180° esetet jelentő holtpontról melyik irányban mozduljon ki a C pont, egy ekkor megjelenő B?D kapcsolóval állíthatjuk át. Az eredményt a szakaszok színe is jelzi. Ugyanígy az E pontot a D?A kapcsolóval lendíthetjük át a holtponton egyik, vagy másik irányba.
Egyenlő oldalú ötszögek
Úgy tűnhet, a "holtpont-kapcsolók" alkalmazásával négy különböző alakzat állítható elő. Valójában csak kettő, mivel az AB egyenesre ill. az A és B pontok szimmetriatengelyére tükrözve a kapott alakzatok tükörképe is előállítható. Ha e kapcsolók logikai értéke azonos, akkor előáll a konvex- és a csillagötszög is, ha ellentétes, akkor nem.
Van egy figyelmet érdemlő "trükk", a fenti appletben: a D pont nem "megy ki" a megoldást adó helyzetéből.
Pólya György szerint a módszer olyan fogás, amit kétszer alkalmazunk. Aki kíváncsi erre a fogásra, itt megtekintheti.
Több irányba is tovább lehet gondolni ezt a kiindulásul vett problémát:
- Hogyan kellene megválasztanunk a D pontot ahhoz, hogy megkapjuk a konvex, ill. önátmetsző szabályos ötszöget?
- Hogyan értelmezhetők az így kapott - olykor önátmetsző - alakzat belső ill. külső szögei, ezek között milyen kapcsolat van?
- Van-e ezek között olyan, amely egybevágó példányaival hézagmentesen lefedhető - kiparkettázható - a sík? (Erre találunk is példát: az un. kairói parketta - amelyet egy kairói utcakő láttán nevezett el valaki - olyan ötszög, amelyet pl. úgy állítunk elő, hogy egy egyenlő szárú háromszög száraira - kifelé - építünk egy-egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget. )
Mi változik ...
... és mi nem, ha a sík helyett a gömbön végezzük el - szándékaink szerint ugyanúgy - ezt a szerkesztést?
- Először is: az eddig fixnek tekintett A és B pont távolsága a gömbfelületen másképpen "viselkedhet" a G-modell alapgömbjéhez viszonyítva. A - fokokban mért - távolságuk felülről is korlátos. Itt egy csúszkával adhatjuk meg, amely 6 fokonként változtatható. Az AB G-szakasz legkisebb értékét itt φ=6°-nak választottuk. Könnyen belátható, hogy minél kisebbre választjuk, annál jobban hasonlít a probléma a síkbeli esethez.
- A □ Szerkesztés -t bekapcsolva megjelenítettük a D pont mozgathatóságának a határát is. Figyeljük meg, hogy ez miként változik φ növelésével.
- A C és E pontban lévő "csukló" megváltoztatása nem csak a holtpont elérésekor válik lehetővé.
- Lehet látni a gömbön egy, ill. két (barna) pontot. Ezekhezz D-vel közelítve kapjuk meg a szabályos ötszög két esetét. Figyeljük meg hogy φ=72° esetében a konvex szabályos G-ötszög pontjai egy G-egyenesre illeszkednek, így ennél nagyobb oldalhosszú konvex szabályos G-ötszög nem létezhet. Ugyanez következik be a szabályos csillagötszög esetén φ=144°-nál. Így ezt az értéket tekintjük a vizsgálódásunk felső határának.
- Itt volt szó a G-háromszögek poláris G-háromszögeiről. A polaritás fogalma ötszögekre is kiterjeszthető. A vizsgált G-ötszögeink G-oldalegyeneseihez (nem csak a szabályosakhoz) rendre - vagyis az ötszög oldalainak sorrendjében - hozzárendelhető két -két pólus, ezek meghatároznak két poláris ötszöget -ezek egymás átellenes ötszögei, amelyeknek a szögeik lesznek egyenlők. Ezek láthatósága a ↶ és ↷ jelek feletti jelölőnégyzetekkel kapcsolhatók ki-be. Az ABCDE G-ötszög oldalai és a poláris G-ötszögek szögei 180°-ra egészítik ki egymást. Így ha ABCDE szabályos, akkor a polárisa is az.
- Külön említést érdemel - mi több: emiatt készült ez az egész munka - a φ=90° eset.
Napier és a csodálatos ötszög
Shakespeare korában, 1614-ben tette közzé John Napier (1550-1617) azt a munkáját, amely a logaritmus függvény alkalmazási lehetőségeinek a leírása mellett közli az első számolást segítő logaritmustáblát.
Ugyanitt leírta a gömbre kifeszített derékszögnyi oldalú csillagötszögnek - a fenti appletben φ=90° -hoz tartozó - jelenséget is.
Eszerint az ötszög csúcsaira illeszkednek a poláris ötszögének - melynek a szögei derékszögek - az oldalegyenesei. Pentagrama Mirificum. Tőle származik ez az elnevezés.
... de miért csodálatos?
Reméljük, hogy a φ=90°-hoz tartozó konstrukcióban számos, valóban csodálatosan szép összefüggésre derítenek fényt figyelmes, kísérletező kedvű olvasóink. Ráadásul ezek jórészt akkor is érvényesek, ha az eredeti csillagötszög nem feltétlenül szabályos.
Nézzük a részleteket:
- Pentagramma mirificum felirattal együtt megjelent a képernyő bal oldalán a □ Átló egyenesek kétállapotú kapcsoló, amellyel bekapcsolhatók az ACEBD ötszög egyenesei. Ha ABCDE szabályos csillagötszög, az átlói konvex szabályos ötszöget zárnak közre.
- Két, közös kezdőpontból induló kvadrát (negyed körívnyi G-szakasz) közös kezdőpontjának a polárisa illeszkedik e szakaszok másik végpontjaira, és merőleges ezekre a szakaszokra. Vagyis a φ=90° élhosszú ötszögek egy csúcsra illeszkedő oldalai és átlói merőlegesek egymásra: keletkezett a konstrukción 5*2 =10 derékszög függetlenül attól, hogy ABCDE szabályos-e.
- Ugyanekkor, mivel a kvadrát végpontjaira állított merőlegesek egymásra is merőlegesek ez további 2*5 derékszöget jelent. Ez utóbbiak alkotják az ABCDE ötszög poláris ötszögeinek a csúcsait.
- Mivel, ha egy G-háromszög mindhárom szöge derékszög, akkor oldalai kvadrátok, ezért az ABCDE ötszög minden csúcsára illeszkedik az oldalain túl még két-két kvadrát (amelyek közül mindig kettő-kettő illeszkedik a poláris ötszög egy-egy oldalegyenesére Így, ha az ABCDE ötszög mellett bekapcsoljuk a két duális ötszög láthatóságát is, akkor összesen 5+2*(2*5) =25 dinamikusan mozgatható kvadrát, (azaz negyed körívnyi gömbi szakasz) látható.