EL CONJUGADO ISOGONAL DE UN PUNTO
Una propiedad fundamental con relación al concepto de conjugado isogonal es la siguiente:
Teorema; Si tres rectas, cada una de las cuales pasa por el vértice de un triángulo son concurrentes entonces sus isogonales conjugadas con respecto a los vértices del triángulo son concurrentes.
Definición: Sean P y P* los puntos de concurrencia de las rectas y de sus isogonales conjugadas respectivamente. Los puntos P y P* se llaman isogonales conjugados con respecto al triángulo.
1. El ortocentro y el circuncentro de un triángulo son isogonales conjugados.
2. El baricentro y el punto simediano son isogonales conjugados. El punto simediano de un triángulo es el punto de concurrencia de las simedianas del triángulos.
En las siguientes actividades mostramos algunos objetos y sus isogonales conjugados, sin embargo, para facilitar esta labor construimos el conjugado isogonal de un punto y a partir de ella, la herramienta isogónico.
La construcción del conjugado isogonal de un punto.
Dados un triángulo ABC y un punto P fuera de los lados del triángulo, el conjugado isogonal de P, puede construirse de la siguiente manera:
a. Trace las rectas AP y BP.
b. Construya las bisectrices de los ángulos BAC y ABC.
c. Halle las reflexiones de las rectas AP y BP sobre las bisectrices de los ángulos en A y B, respectivamente.
d. Halle el punto P’ intersección de estas rectas. Este punto P’ es conjugado isogónico del punto P con respecto al triángulo ABC.
Ud. puede verificar que la construcción es correcta, trazando la recta CP, la bisectriz del ángulo ACB, tomando la reflexión de esta recta sobre la bisectriz y verificando que esta pasa por el punto P’.