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Avere più elementi in gioco

Autor:Ilic Ferretti
Consideriamo la seguente situazione: ESEMPIO: Metto in banca al tasso dell' annuale. Dopo 3 anni, dato che i soldi sul mio conto mi sembrano non aumentare mai, aggiungo altri alle stesse condizioni. Dopo quanti anni avrò sul conto? Abbiamo due elementi che crescono con lo stesso andamento, ma ognuno ha un riferimento temporale diverso. Supponendo infatti che oggi sia il giorno in cui aggiungo i , ho questa situazione:
  • la prima tranche di euro che metto in banca erano tre anni fa, poi cresceranno (anche se di poco) e oggi saranno un po' di più
  • la seconda parte di soldi ammonta a oggi.
Dobbiamo quindi innanzitutto decidere il riferimento temporale in cui vogliamo lavorare - cioè quando è l'OGGI in cui - e rispetto al quale calcoleremo i tempi che ci interessano - sono tutti accettabili, ma è importante capire quale si è scelto per poter interpretare correttamente i risultati. Se ad esempio continuiamo ad ipotizzare che oggi sia il giorno in cui aggiungiamo i , il nostro patrimonio totale sarà: Come puoi vedere il primo contributo vale quando ed il secondo valeva quando , cioé tre anni fa, quindi tutto torna. Per risolvere il problema dobbiamo porre il patrimonio totale pari a : Volendo applicare la strategia usate finora, dobbiamo riuscire a sommare i due termini che contengono l'incognita , ma questo non è possibile perché le due potenze hanno esponente diverso (la parte letterale non è uguale). Dobbiamo mettere in evidenza la parte che hanno in comune le due potenze, il . Per fare questo dovremmo "spezzare" la seconda potenza in due:
  • la parte che ha uguale alla prima potenza
  • quello che resta;
Possiamo farlo applicando la prima proprietà delle potenze al contrario (quella che ci dice quando si sommano gli esponenti) e riscrivere la seconda potenza come: Sostituendo questo nella nostra equazione otteniamo: A questo punto possiamo raccogliere la potenza con l'incognita, che è in comune... ...ed isolarla: A questo punto applichiamo la definizione di logaritmo ed abbiamo che svolgendo i calcoli (con una calcolatrice!) ci porta a Quindi avrò sul mio conto dopo circa anni, cioè anni e mesi, ovvero anni, mesi e giorni dopo che ho aggiunto i (quello era il mio di riferimento). NOTA SULLE APPROSSIMAZIONI: nel calcolo abbiamo riportato dei risultati intermedi per rendere più comprensibili i passaggi, ma è importante saper utilizzare i risultati parziali esatti che ci fornisce la calcolatrice, e non riscriverli approssimati, per limitare le approssimazioni e gli errori. Per fare questo, se la calcolatrice non è molto evoluta, bisogna saper utilizzare bene le parentesi e fare tutto il conto in una volta sola, oppure imparare a mettere i memoria un risultato di solito tramite il tasto MS, che sta per "memory storage", immagazzina in memoria, e ripescarlo quando necessario con MR ("memory recall"). UN PUNTO DI VISTA EQUIVALENTE Abbiamo detto che tutti i riferimenti temporali sono ugualmente validi, basta poi interpretare correttamente il risultato ottenuto. Rifacciamo il problema prendendo come riferimento il giorno in cui ho messo in banca i primi . Il mio patrimonio in questo caso viene espresso da: Questa volta il primo contributo varrà quando , cioè fra tre anni, ed il secondo vale oggi, cioè quando . NOTA: questa funzione esiste per qualsiasi valore di , ma è chiaro che ha senso solo per , cioè quando entrambi i contributi sono in gioco, perché prima di allora non ha senso includere il termine relativo ai . Lo stesso problema si aveva con l'altro approccio, in cui la funzione aveva senso solo per . Il percorso ora è identico a prima. Poniamo ora il patrimonio totale pari a : Isoliamo la potenza con l'incognita spezzando quella che compare a primo termine... ...la raccogliamo... ...e la isoliamo Applicando la definizione di logaritmo otteniamo Svolgiamo infine i conti ed otteniamo Il risultato è coerente con quanto trovato la prima volta, in fatti devono trascorrere anni, cioè anni, mesi e giorni dopo che ho messo i primi (quello era lo di riferimento scelto questa volta), e quindi è corretto che rispetto a quel giorno sia necessario attendere in più.

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