INDUKSI MATEMATIKA
Pertemuan 3
Matematika Kelas XI (Semester Ganjil)
Pada pertemuan kedua kita kemarin, kita sudah belajar mengenai jenis induksi matematika deret. Nah, kali ini kita akan mempelajari induksi matematika PEmbagian.
2. Pembagian
Jenis induksi matematika pembagian dapat kita jumpai di berbagai soal yang menggunakan kalimat sebagai berikut :
- a habis dibagi b
- b faktor dari a
- b membagi a
- a kelipatan b
Yuk, simak soal berikut!
Soal 1
Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli
Jawab :
Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan n=(1) benar
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, n=(1) benar
Langkah Kedua:
Asumsikan n=(k) benar, yaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ N
Langkah Ketiga:
Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, p ∈ Z
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)
Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ Z
Jadi, n=(k + 1) benar
Soal 2
Buktikan bahwa 
habis dibagi 
untuk semua bilangan positif 
!
Jawab:
1. Langkah dasar:
Karena 4 habis dibagi 4 maka 
benar, sehingga berlaku 
benar.
2. Langkah induksi:
Jika 
benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk 
dengan 
.
benar habis dibagi 4
Sehingga:
Karena 
dan 
habis dibagi 4, maka 
habis dibagi 4. Sehingga pernyataan bernilai benar untuk semua bilangan positif .
habis dibagi untuk semua bilangan positif !
Jawab:
1. Langkah dasar:
Karena 4 habis dibagi 4 maka benar, sehingga berlaku benar.
2. Langkah induksi:
Jika benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk dengan .
benar habis dibagi 4
Sehingga:
Karena dan habis dibagi 4, maka habis dibagi 4. Sehingga pernyataan bernilai benar untuk semua bilangan positif .