Lineární závislost vektorů
Dva vektory a, b jsou lineárně závislé, pokud jsou rovnoběžné (mají tentýž směr). Pro jejich souřadnice musíme nalézt číslo k takové, že a = k b.
V rovině neexistují tři vzájemně nezávislé vektory. Vždy mezi nimi najdete jeden, který je možné vyjádřit jako lineární kombinací zbývajících dvou vektorů. Na appletu níže je vektor u vyjádřen jako lineární kombinace vektorů a a b, tj. u = k.a + l.b. Koeficienty k, l lineární kombinace jsou určeny geometricky, pomocí rovnoběžníka s úhlopříčkou u.
Vektor u je lineární kombinací vektorů a, b
Definice
Nechť v1, v2, ..., vn jsou vektory z protoru V, a1, a2,..., an jsou reálná čísla. Vektor v
v = a1.v1+ a2.v2+ ...+an. vn
se nazývá lineární kombinace vektorů v1, v2, ..., vn s koeficienty a1, a2,..., an. Pokud jsou všechny koeficienty a1, a2,..., an rovny nule, hovoříme o triviální lineární kombinaci. Řekneme, že vektory v1, v2, ..., vn jsou lineárně nezávislé, jestliže lze nulový vektor vyjádřit pouze jako jejich triviální lineární kombinaci.o = 0.v1 + 0.v2+ ... + 0. vn .
Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních.Rozhodněte, zda jsou vektory u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 1) lineárně závislé.
Pro volitelné reálné koeficienty k, l sestrojme vektor w = k.u+l.v.
Rozhodněte, zda jsou vektory u, v, w lineárně závislé.
Množina vektorů v1, v2,..., vk generuje vektorový prostor V, jestliže každý vektor u∈ V lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci
u = a1.v1+a2. v2+...++a2. vk
Každou množinu lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru V se nazáváme bází V. Počet prvků báze je dimenze V.Úloha
Napište nějakou bázi vektorového prostoru R3.
Úloha
Napište nějakou bázi vektorového prostoru generovaného třemi vektory (1, 0, 0), (1, 1, 1), (-1, 2, 2).
Úloha
Napište nějakou bázi vektorového prostoru generovaného čtyřmi vektory (1, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0) (0, 1 1).
