Triángulos sombreados
Problema de la Olimpiada Matemática de la SMPM de 2º ESO
El siguiente dibujo muestra un triángulo equilátero con algunos triángulos sombreados en su interior.
Cada triángulo sombreado es equilátero y toca los lados del triángulo más grande y de los triángulos sombreados al lado.
¿Qué fracción del triángulo mayor está sombreada?
Estimamos una solución
¿Qué porcentaje del triángulo mayor está sombreada?
- Este problema lo planteé en el tema de sucesiones de 1º de bachillerato de Ciencias. El objetivo era trabajar la resolución de problemas con el alumnado.
- Recordando el libro de Ana Carvajal y José Luis Muñoz titulado "Demostraciones visuales". Se me ocurrió dar algunas demostraciónes visuales con GeoGebra.
- Pero no fui la única que lo pensó así, Lucas Álvarez Vereda (alumno de José Luis Muñoz Casado) también tubo una idea genial, la vemos a continuación.
Autor: Lucas Álvarez
Desplaza los triángulos en el applet siguiente y piensa.
¿Qué observas?
MÁS DEMOSTRACIONES
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Aquí tienes otra forma de colocar los triángulos.
Ahora puedes visualizar la siguiente imagen.
Lo que he hecho es dividir los triángulos en dos partes iguales y girarlos al lado izquierdo del triángulo grande.
De esta forma se visualiza que el área coloreada es menor que el 50% del área del triángulo grande pero si realizamos esta iteración un número infinito de veces el área coloreada sería 1/2.
Pensamos en el límite.
¿Cuál es el límite cuando n tiende a infinito de la sucesión de triángulos coloreada?