0511 Két tengelyes tükrözés szorzata
Feladat:
Legyen adott a P-modell két egyenese t1 és t2! Legyen az ABC Δ t1-re vonatkozó tükörképe A’B’C’ Δ , majd ennek t2-re vonatkozó tükörképe A''B''C'' Δ.
Milyen egybevágósági transzformáció az ABC Δ → A''B''C''Δ hozzárendelés?
A két tükörtengely megadása:
A t1 tükörtengelyt két, az alapkörön mozgatható (◀ jelű) végtelen távoli pontjával adtuk meg, amelyen mozgathatjuk az O pontot.
A t2 tengelyt egyik végtelen távoli pontja és O pont határozza meg úgy, hogy ha metszők akkor t2 illeszkedik O-ra, ha ultrapárhuzamosak (másképpen: eltérők) , akkor merőleges az O pontra illeszkedő, t1-re merőleges e egyenesre. (Korábban láttuk, hogy ha két egyenes merőleges ugyanarra az egyenesre, akkor egymáshoz viszonyított helyzetük ultrapárhuzamos. Ezt használtuk ki a két tengely megadásához.
Mindkét általános helyzetnek az a speciális esete, ha az O pont t1-nek valamelyik végtelen távoli pontja. Ezért a fenti két eset közötti kapcsolót ebbe az esetbe építettük be: ha O-t úgy mozgatjuk, hogy essen egybe t1 valamelyik végtelen távoli pontjával, akkor onnan visszahozva ha t1 és t2 korábban metszők voltak, akkor ultrapárhuzamosak lesznek és viszont.
Ebben az átmeneti helyzetben t1 és t2 aszimptotikusan párhuzamos (másképpen: egyirányú). (A GeoGebra programozása iránt érdeklődő olvasóinknak javasoljuk, hogy töltsék le a fenti GeoGebra fájlt. Ebből ötletet meríthetnek egy ilyen kapcsoló elkészítésére.)
Mindkét általános esetben a t2 tengely végtelen távoli pontjának a mozgatásával elérhető, hogy t1 és t2 essen egybe, vagy ha metszők , akkor legyenek merőlegesek egymásra. (Mozgassuk t2 végtelentávoli pontját a ⊗ jelre.)
Elemzés:
Az ABC Δ és A''B''C'' Δ kapcsolata fix t1 és mozgó t2 tengely mellett.
Vezessük körbe a t2 tengely végtelen távoli pontját a P-modell alapkörén, vagy kapcsoljuk be az animációt.
Már korábban is láttuk, hogy ha t1 és t2 metsző, akkor t2 mozgatása során a háromszög csúcsai egy-egy O középpontú H-kört írnak le.
Azt is tapasztaltuk, hogy ha t1 és t2 ultrapárhuzamos, akkor e mozgás közben az A. B, C pontok pályája egy-egy hiperciklus, amely a P-modellen olyan körív, amely illeszkedik az e egyenes végtelen távoli pontjaira.
A hiperbolikus sík legérdekesebb mozgását akkor kapjuk, ha t1 és t2 aszimptotikusan párhuzamos. Ekkor t2- végtelen távoli pontjának a mozgása során az A,B,C pontok egy-egy paraciklust írnak le. Ennek a P-modellbeli képe olyan körvonal, amely érinti a modell alapkörét. A már megismert H_Kör[] eljárással is előállíthatunk paraciklust, ha a H-kör középpontja végtelen távoli, vagyis illeszkedik a P-modell alapkörére (mint körvonalra).
Belátható, hogy H-egyenesekre vonatkozó tükrözésekkel bármely paraciklus átvihető bármelyik másikba, így bármely két paraciklus egybevágó. Mivel bármely két aszimptotikusan párhuzamos egyenes szöge és távolsága is nullának tekinthető, ezért a paraciklus menti mozgásnál nem értelmezhető nagyságrendi összehasonlítás. (Nem mérhető sem szöggel, sem távolsággal.)