Derivadas: Aplicações e aproximações
Derivada de uma função
Seja uma função com domínio e , é uma função diferenciável se existir para qualquer . Ao valor denotamos por e chamamos derivada de em . É equivalente escrevermos .
Reta tangente a uma função
Seja uma reta, sabemos que o seu declive é dado por para e pertencentes a . Reparemos que para uma função , em , a reta secante a em terá declive . Deste modo podemos deduzir que a reta tangente a em terá declive .
Desta forma escrevemos que a reta tangente a em se dá por . Sabemos que o ponto pertence a pelo que temos , ou seja , daí vem que que .
Método de Newton
Queremos agora descobrir uma raiz de , .
Supomos um valor suficientemente próximo da raiz. Sabemos que a reta tangente a em tem a mesma direção (ou declive) de em . É seguro então admitir que para valores próximos da raiz de , a raiz de terá um valor próximo da raiz de .
Vamos averiguar qual o valor da raiz. Pela secção anterior vemos que se dá por , logo a raiz de dá-se pela equação , ou seja, .
O Método de Newton dá-nos uma sucessão que converge para : .
É importante reparar que a sucessão do Método de Newton só funciona quando não é um ponto critico da função. Também se pode verificar que existem pontos onde o Método de Newton converge mais rapidamente.
Diferenciação Numérica
Relembramo-nos da definição de derivada: . Não é surpreendente que para várias funções , é complicado ou mesmo impossível de calcular. Daí existem formas numéricas de aproximar uma derivada, seja porque ela não existem ou porque é computacionalmente complicada de calcular.
O primeiro método numérico de derivação é o mais simples, que é simplesmente para valores de h suficientemente próximos de . Reparemos que quanto mais próximos de mais próximo é o valor da derivada.
O segundo método numérico usa a Série de Taylor:
Para temos
Subtraindo ambos os termos temos
Simplificando temos